复杂系统与复杂性科学 2008年12月 其中,m(t)为t时刻增加的节点连接边数,N(t)为t时刻网络的节点数目,p(t)为常数时属于确定性增长, 当为随机概率,0<P(t)<1,属于随机性增长;a为变速指数,依α不同值分为正常(α=0)、加速(0<α<1) 和超加度(α>0)等多种情形。这样,第1层次能够把各种实际网络增长过程中变速的特点仔细描述进去, 反映了增长方式的多样性。该 UHNM-VSG网络研究了两种变速增长的特性3-59:随机增长图象与确定性 增长图象。例如,在式(5)中当p为概率变化时为随机增长图象,而当p为常数时则为确定性增长图象。混 合比g体现了两种混合增长,显然第1层次把各种实际网络中存在着变速的特点包含在内,这使第l层次 模型比前两层次模型理论更趋于完善,发现了一些网络新特性和转变关系。主要点有 1)累计度分布P(k)在幂律分布与广延指数分布之间的转变:如果考虑式(5)中变速指数a=0.3和 p(t)为随机概率增长时,随着d变化出现两种累积度分布:既有幂律分布,又有双广延伸长指数分布。广延 指数分布定义为 其中,b和k为两个参数,c为广延指数,双广延指数分布是指曲线具有两段不同广延指数c和c2。如果c 较小,则它越接近接近SF。在α比较小(α=0.3)时,在dr三种基本模式:总混合比是确定性占主导(dr 4/1,49/1)、两者相当(dr=1/1)和随机性混合占主导(dr=1/49,1/4)时,累计度分布P(k)仍然是幂律分 布,但是随着α增加(如0.6,0.9),P(k)却都出现双广延指数分布。γ随k增加而增加,广延指数c随k增 加可出现极值(最大或最小),密切依赖于α增加;随α变化,网络的拓扑特性在幂律分布和广延指数分布之 间转变,具体转变类型完全取决于混合比和指数α数值或变速增长方式。不论随机连接方式还是确定性变 速增长下,都能够出现类似的累积度分布的转变。 2)不同累计度分布P(k)转变与混合增长比vg的关系:第1层次中的混合增长比vg是一个对网络特性 有重要影响的关键调控参数。在固定(dr=1/1,fd=0/1和gr=0/1)情形下比较了不同vg下累计度分布 P(k)的转变特性研究发现:存在另外一种多标度分布之间的转变,出现广延指数分布和高斯分布。在(dr= 1/1、fd=0∥1和gr=0/1)和其他工作模式下都出现了特性转变。它们取决于4个混合比的组和或匹配等 3)群聚系数C与变速指数α的关系:第1层次网络的数C与混合比及变速指数a之间存在更复杂的三 维关系意图,可在[0,1]之间大范围变化,C既可以达到很高,又可以比较小,完全取决于3个混合比和增长 指数a,整个变化呈现错综复杂的非线性关系。 4)相称性系数r与混合比关系:在第1层次里,反映网络之间相关的特性的相称性系数r与混合比关 系及变速指数α之间存在复杂的三维关系。当采用式(5)中不论是随机性增长方式(p为概率)还是确定性 增长方式(p()为常数)时,当工作在d≥1/1模式时,r出现了波峰,随着a的增加,此起彼伏;而随着a的 增加C出现非线性变化;当工作dr<1/1(随机性占主导)模式时,在α=0.3之前C明显上升,而后稍微下 降;当工作d≥1/1(确定性占主导)模式情形,C一直在上升。 总之,在第1层次里,网络特性与4个混合比(d,fd,gr,g)之间存在着复杂的非线性关系,波峰和波谷 起伏交错,其奥秘和规律隐含在许多特殊混和比匹配之中。 字塔的最底层是真实世界网络,它是复杂网络金字塔的奠基石,真实世界的网络多种多样、丰富 多彩,例如,因特网、万维网、各种交通网、电力传输网、各种通信网络、各种生物网络、各种社会网络、生态和 环境网络等,是所有网络理论模型研究的源泉和根据所在。 综上所述,我们构建了复杂网络模型金字塔,分析和总结了具有多层次的复杂网络金字塔的基本特性, 揭示和反映了复杂网络金字塔不同层次上网络的特色和规律以及错综复杂的关系,这将有助于加深理解和 进一步挖掘网络的多样性-复杂性,以及简单性-普适性之间的转变规律,从金字塔的最顶层到最底部,复 杂性和多样性程度越来越高,反之,简单性与普适性增强。利用4个混合比可以统一研究金字塔各层次模 型,研究一些实际增长网络的基本特性。这类网络模型金字塔还可以进一步拓广和完善。同时,我们还提岀 了广义 Farey组织的金字塔,从理论上推导了该网络的拓扑特性、相称性系数和群聚系数等。复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 其 中，m(t)为 t时刻增加 的节点连接 边数 ，N(t)为 t时 刻 网络 的节 点数 目，P(t)为常 数 时属 于确 定性增 长 ， 当为随 机概率 ，0<P(t)<1，属于随机性 增长 ； 为 变速指 数 ，依 不 同值分 为正 常 (Ot=0)、加速 (0<O／<1) 和超加 度( >0)等 多种情形 。这样 ，第 1层 次 能够 把各 种 实际 网络 增 长过 程 中变速 的特 点仔 细 描述进 去 ， 反映 了增 长方式 的多样性 。该 UHNM．VSG 网络 研究 了两 种 变速 增 长 的特性 ：随机增 长 图象 与确定 性 增长 图象。例如 ，在式 (5)中当 P为概 率变化 时为 随机增 长 图象 ，而当 P为 常数 时则为确 定性增 长 图象。混 合 比 体 现了两种 混合增长 ，显然第 1层次把 各种 实 际 网络 中存在 着变 速 的特 点包 含在 内，这 使 第 l层次 模型 比前 两层次模 型理论更 趋于完 善 ，发现 了一些 网络新 特性和转 变关 系。主要 点有 ： 1)累计度分 布 P(k)在幂 律 分 布与 广 延指 数分 布 之 间 的转 变 ：如果 考 虑式 (5)中变 速 指数 =0．3和 P(t)为随机概 率增长时 ，随着 变化 出现两 种 累积度 分布 ：既有幂律 分布 ，又有 双广延 伸长 指数 分布 。广延 指数分 布定义为 P()：b。一(寺) (6) 其 中 ，b和 k为两个 参数 ，c为广延指 数 ，双广 延指 数 分布 是 指 曲线具 有 两段不 同 广延 指数 c．和 C。如果 c 比较小 ，则它越 接近接近 sF。在 Ot比较小 ( =0．3)时 ，在 dr三种 基本模 式 ：总混合 比是确 定性 占主导 (dr： 4／1，49／1)、两者相 当(dr=1／1)和 随 机性 混 合 占主导 (dr=1／49，1／4)时 ，累计 度分 布 P(k)仍 然是 幂律 分 布 ，但是 随着 增 加 (如 0．6，0．9)，P(k)却都 出现 双广延指 数分布 。 随 k增 加 而增 加 ，广延指 数 C随 k增 加可 出现极值 (最 大或最 小 )，密切 依赖 于 增加 ；随 仅变化 ，网络 的拓扑特性 在幂律 分布 和广延 指数分 布 之 间转变 ，具体转 变类型完 全取决 于混合 比和指数 Ot数值 或变 速增 长方 式 。不 论 随机连 接方式 还 是确定 性 变 速增 长下 ，都能 够 出现类 似 的累积度分布 的转变 。 2)不 同 累计 度分布 P(k)转变 与混合 增长 比 曙 的关 系 ：第 1层次 中的混合增 长 比 g是一 个对 网络 特性 有重 要影响 的关 键调控 参数 。在 固定 (dr=1／1，fa=0／1和 gr=0／1)情 形 下 比较 了不 同 下 累 计度 分 布 P(k)的转 变特性研 究发现 ：存在另外 一种 多标度分 布之 问的转变 ，出现 广延 指数 分布 和高斯 分布 。在 (dr= 1／1，fd=0／1和 gr=0／1)和其他 工作模式 下都 出现 了特性 转变 。它们取 决于 4个 混合 比的组和或 匹配等 。 3)群聚系数 c与变速指 数 的关系 ：第 1层次 网络 的数 C与混合 比及变速指 数 O／之间存在更 复杂 的三 维关 系意 图 ，可 在 [0，1]之 间大范 围变化 ，c既可 以达到很 高 ，又 可 以比较小 ，完 全取决于 3个混 合 比和增 长 指 数 ，整 个变 化呈现 错综 复杂的非线 性关 系。 4)相 称性 系数 r与混合 比关 系 ：在第 1层 次里 ，反 映 网络之 间相 关 的特 性 的相称 性 系数 r与混合 比关 系及变速指数 之间存在 复杂 的三维关 系 。当采 用式 (5)中不论是 随机 性增 长方 式 (P为 概率 )还是 确定性 增长方式 (P(t)为常数 )时 ，当工作在 dr>>1／1模 式时 ，r出现 了波 峰 ，随着 Ol的增加 ，此 起彼 伏 ；而随 着 的 增加 c出现非线性 变化 ；当工作 dr<1／1(随机性 占主导 )模 式 时 ，在 Ol=0．3之 前 C明显上 升 ，而后稍 微 下 降 ；当工作 ≥1／1(确定性 占主导 )模式 情形 ，C一直在 上升 。 总之 ，在第 l层次里 ，网络特性 与 4个混合 比 (dr，． ，gr，曙)之 问存在 着复 杂 的非线 性关 系 ，波峰 和波 谷 起伏交错 ，其 奥秘和规律 隐含在 许多特殊 混 和比匹 配之 中 。 网络 金字塔 的最 底层是真 实世界 网络 ，它 是复杂 网络 金字塔 的 奠基石 ，真 实世 界 的 网络 多种 多样 、丰 富 多彩 ，例如 ，因特 网 、万 维 网 、各种 交通 网 、电力传 输 网 、各 种 通信 网络 、各种 生 物 网络 、各 种社 会 网络 、生态 和 环境 网络 等 ，是所有 网络理论模 型研究 的源 泉和根据 所在 。 综上所述 ，我们构 建 了复杂 网络模 型金字塔 ，分析 和总结 了具 有 多层 次 的复杂 网络 金字 塔 的基本 特性 ， 揭示 和反映 了复杂 网络 金字塔不 同层 次上 网络 的特色 和规 律 以及错 综复 杂 的关系 ，这将 有助 于 加深理 解 和 进一 步挖掘 网络 的多样 性 一复杂性 ，以及 简单性 一普适 性 之 间的转 变规 律 ，从 金字 塔 的最顶 层到 最底 部 ，复 杂性和多样性 程度越来 越高 ，反 之 ，简单 性 与普 适 性增 强 。利 用 4个 混 合 比可 以统 一研 究 金字 塔 各层 次模 型 ，研究 一些实际增 长网络 的基本特性 。这类 网络模 型金字塔 还可 以进一步 拓广和 完善。 同时 ，我们还提 出 了广义 Farey组织 的金字塔 ，从 理论上 推导 了该 网络 的拓扑特性 、相称性 系数 和群聚系数 等