第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 5 数(8,切)和连接边数m之间都存在复杂的指数及参数成反比的复合关系,并非原来模型中简单的指数关 系,所有公式都与混合比和权重参数(d/r,δ,)之间相互关联,说明这种错综复杂的拓扑关系与产生的网 络混合方式、结构、模型类型(参数)等紧密相关,这样第3层次揭示了两种混合择优网络既保持了和谐混合 共存,又能体现它们之间的相互作用与竞争的状况。其理论结果与数值模拟结果相一致。同时 HUHPM网 络具有更突出的小世界特性(最短平均路径距离L和最大的平均群聚系数C),更符合许多实际网络的拓扑 特性27281。此外,当满足网络同步第一判据(类型I)时该层次增强了网络同步能力;网络的熵随着d增加 而减少,可增强网络系统的自组织的有序度13)。总之,第3层次 HUHPM模型,在采取双择优后,通过调 控一个总混合比达到和谐统一,同时产生了无标度特性和小世界效应,并出现了网络新特点 2.4金字塔的第2层次: LUHNM1-21 第3层次 HUHPM模型不足是:它仅仅考虑两大类的择优连接方式,还不能完全地反映实际世界网络形 成中存在连接方式的多样性和复杂性。因为不论随机性连接,还是确定性连接,只考虑一种择优方式,而不 考虑其他的可能连接方式,并不完全符合实际情形。在现实世界网络中,随机性和确定性两大类连接都存在 多种混合方式,比如,既可择优,又能扶贫,还有折中、平衡、特殊等其他多种混合连接方式。因此,我们把 HUHPM推广到 LUHNM,其特点是在总混合比dr下,又分别引人了2个混合比:一是随机混合比gr定义为 般随机连接的时步数(GRA) 总随机性连接的时步数(RA) (2) 是确定性混合比fd定义为 =确定性扶贫连接的时步数(mP4) (3) 它们之间的关系为:DA=HPA+DPA,RA=GRA+RPA或DA=f+d,RA=g+r。根据实际需要,该模型还可 灵活增加混合比个数。因此,第2层次模型形成了具有多个混合比的大统一混合网络模型。该模型包括了 不对称连接比。第2层次与第3层次类似,存在3种不同的典型混合情形。第2层次模型与第3层次模型 不同的是考虑了3个混合比(dr,gr,fd)。研究显示了结构及特性的多样性和复杂性,把目前文献上绝大多 数网络模型类型基本都统一起来,作为特例包括在该理论框架内。第2层次 LUHNM网络通过3个混合比 灵活控制网络生长,能够更细致揭示复杂网络的特性。第2层次不仅囊括了前面各层次模型的主要结果,又 发现了新特性和新现象。值得关注的是度-度关联系数r(或相称性系数)通过调控3个混合比(dr,gr,f )参数,使r在(-1,1)大范围的正负值之间实现转变,并出现了多极值现象。在不同gr和d情形下发现 的与3个混合比(dr,gr,fd)之间关系错综复杂,既有线性关系,也有非线性关系,取决于3个混合比的不同 匹配、工作模式和大小。利用这个层次的理论结果,可以解释为什么社会网络和技术及生物网络之间的r出 现的差异。其次发现:累计度分布随着3种混合比的变化可在幂律函数分布和指数分布之间进行转变,一些 奥秘和规律隐藏在混合比的巧妙组合之中。因此,第2层次 LUHNM更具灵活性,无论无权和有权网络都能 通过调控3个混合比发现网络的新特点和新现象,且完全依赖于3个混合比的组合和变化。 25金字塔的第1层次:UHNMⅤSG1 进一步不难发现,即使在理论模型第2层次模型里,仍然还有考虑不周之处,即没有全面反映网络实际 增长情形,而网络演化变化必然影响网络特性。因为许多实际网络不论是节点的增减和边的增长速度都是 不同的,而且同时随时间和空间而变化。如中国四川汶川抗震救灾网、高技术网络、因特网、人类社会关系 网、通讯网等等,通常它们是随时间空间快速变化的。因此,我们又进一步构造了第1层次模型:UHNM VSG3,其特点是,在总混合比d及第2层次混合比基础上,又引进了一个变速增长混合比eg: DVG RVG 这里,DVG为确定性变速增长时步数;RVG为随机性变速增长时步数。 实际复杂网络存在多种变速增长方式,其中典型的变速方式之 m (t)=p(N(t)) (5)第 5卷第 4期 方锦清，等 ：网络科学 的理论模型及其应用课题研究的若干进展 ·5· 数 (6，W)和连接边 数 m 之间都 存 在复 杂 的指 数 及参 数 成反 比的 复合关 系 ，并非 原 来模 型 中 简单 的指 数关 系 ，所有公式 都与混合 比和权 重参数 (d／r，6，W)之 间相 互关 联 ，说 明这 种错 综 复杂 的拓 扑关 系 与产生 的网 络混合 方式 、结 构 、模 型类型 (参 数 )等 紧密相关 ，这样 第 3层次 揭示 了两种混合 择优 网络既保持 了和谐混合 共存 ，又能体 现它们之 间 的相互 作用 与竞争 的状况 。其 理论结 果与 数值 模拟 结果 相一 致 。同时 HUHPM 网 络具有 更突 出的小世 界特性 (最 短平均路 径距 离 和最 大 的平 均群 聚系数 c)，更 符合 许多实 际 网络 的拓扑 特性 。此外 ，当满足 网络 同步第-N 据 (类 型 I)时该 层次 增强 了 网络 同步能力 ；网络的熵 随着 dr增加 而减少 ，可增强 网络系统 的 自组 织的有 序 度 。总之 ，第 3层 次 HUHPM 模 型 ，在 采取 双择 优后 ，通 过调 控一个 总混合 比达到 和谐 统一 ，同时产 生 了无标 度特性 和小世 界效应 ，并 出现 了网络新特 点。 2．4 金 字塔 的第 2层次 ：LUHNM I2 第 3层次 HUHPM模 型不足是 ：它仅 仅考虑两 大类 的择 优连接方 式 ，还 不能完全 地反映 实 际世界 网络形 成 中存 在连接方 式的 多样性和 复杂性 。因为不论 随机性 连接 ，还 是确定 性 连接 ，只考 虑一 种 择优 方式 ，而不 考虑其 他的可 能连接方 式 ，并不 完全符 合实际情 形 。在 现实世界 网络 中 ，随机性 和确定性 两大类连 接都存在 多种混 合方 式 ，比如 ，既可 择 优 ，又能 扶 贫 ，还有 折 中 、平 衡 、特 殊 等其 他 多种 混 合连 接方 式 。 因此 ，我 们把 HUHPM推广 到 LUHNM，其特点 是在 总混 合 比 下 ，又分别 引入 了 2个 混合 比 ：一是 随机混合 比 gr定 义为 一 g 一 般随机 连接 的时步数 (GRA) ， r 一 总随机性 连接 的时步数 (肼 ) 二是确 定性混 合 比 定义 为 ， ， 确定 性扶 贫连接 的时步数 (例 ) ，¨ jtt一 总确定性 连接 的时步数 ( ) 它们之 间的关 系为 ：DA= +DPA，t54=GRA+兄PA或 DA=，+d，RA=g+r。根 据 实际需 要 ，该 模 型还可 灵活增 加混合 比个数 。因此 ，第 2层 次模 型形成 了具有 多个混 合 比的 大统一 混合 网络模 型 。该 模 型包 括 了 不对称 连接 比。第 2层次 与第 3层 次类似 ，存在 3种 不 同的典 型混 合情 形 。第 2层 次模 型与 第 3层次 模 型 不 同的是考虑 了 3个混合 比( ，gr，．厂d)。研究显 示 了结 构及特性 的多样 性和 复杂性 ，把 目前 文献 上绝 大多 数 网络 模型类 型基本都统 一起来 ，作 为特 例包 括在 该理 论 框架 内。第 2层次 LUHNM 网络 通 过 3个 混 合 比 灵活控 制网络生 长 ，能够更 细致揭示 复杂 网络 的特性 。第 2层次不仅 囊括 了前 面各层 次模 型的主要结 果 ，又 发现 了新特性 和新现象 。值得关 注的是度 一度关 联系数 rr(或相 称性系 数 )通过 调控 3个 混 合 比(d，，gr， )参数 ，使 r在 (一1，1)大 范围的正 负值之 间实现转 变 ，并 出现 了多极 值现 象 。在不 同 g，和 ，d情形 下发 现 的与 3个 混合 比(dr，gr，fd)之 间关系错综 复杂 ，既有线性 关系 ，也 有非线性 关系 ，取决 于 3个 混合 比的不 同 匹配 、工作模式 和大小 。利用这个层 次 的理 论结果 ，可 以解 释为什 么社会 网络和技术 及生物 网络之 间的 r出 现的差异 。其次 发现 ：累计度 分布 随着 3种混 合 比的变化可在 幂律 函数分布 和指数分 布之 间进 行转变 ，一些 奥秘 和规律隐藏在 混合 比的巧妙组 合之 中。因此 ，第 2层次 LUHNM更具灵 活性 ，无 论 无权 和有权 网络 都能 通过调控 3个混合 比发现 网络 的新特 点 和新 现象 ，且 完全依 赖于 3个 混合 比的组合 和变化 。 2．5 金字塔 的第 1层次 ：UHNM．VSG¨ 进一 步不难发 现 ，即使 在理论模 型第 2层 次模 型里 ，仍 然还 有考 虑不 周之 处 ，即没 有全 面反 映 网络 实际 增 长情形 ，而 网络演 化变化必 然影 响网络特性 。因为许 多实际 网络 不论 是节点 的增 减 和边 的增 长速 度都 是 不同 的 ，而且 同时随时间 和空间而变 化 。如 中 国 四川汶 川I抗 震 救灾 网 、高 技术 网络 、因特 网 、人类 社 会关 系 网 、通讯 网等等 ，通 常 它们 是 随 时 间 空 问快 速 变 化 的。因 此 ，我 们 又进 一 步 构造 了第 1层 次 模 型 ：UHNM． VSG ，其特点 是 ，在 总混合 比 及 第 2层 次混合 比基础上 ，又引进 了一个变 速增长混 合 比 g： vg- (4) 这里 ，DVG为确定性 变速增长 时步数 ；RVG为随机性变 速增长 时步数 。 实际复杂 网络存在 多种 变速增长 方式 ，其 中典 型的变速方 式之一 ： m(t)=P(N(t)) (5)