则称(a,+∞)为θ的置信度为1-a的单侧置信区间,称为θ的单侧置信下限;若存在统计 6=6(X1 满足 P{6<b}=1 则称(-∞0)为0的置信度为1-a的单侧置信区间,称b为的单侧置信上限 例题选讲 寻求置信区间的方法 例1(E01)设总体X~N(,a2),a2为已知,μ为未知,设X1,x2,…,Xn是来自X的样 本,求的置信水平为1-a的置信区间 解已知是的无偏估计,且~N01,而N不依赖于任何未知参数按 标准正态分布的双侧a分位数的定义,有P <ual X 这样,就得到了的一个罡信水平为1-a的置信区间X-7um,x+aua2常 写成|x土uma2 若取a=005,即1-a=0.95,及σ=1n=16,查表得la2=l025=1.96,则得到一个 置信水平为0.95的置信区间(x±0.49) 若由一个样本值得样本均值的观察值x=520,则进一步得到一个置信水平为0.95的置 信区间(520±0.49)=(4.71,569) 这个区间的含义是:若反复抽样多次,每个样本值均确定一个区间,在这些区间中,包 含的约占95%,或者说该区间属于包含的区间的可信程度为95% 例2设总体X~N(,8),4为未知参数,X1,…,X36是取自总体X的简单随机样本,如 果以区间(X-1X+1)作为μ的置信区间,那么置信度是多少? 解XN(a)所以一N22N人Np9 从而4-N(0依题意Px-1<<X+=1-a,即 所求的置信度为966%则称 ( ,+) 为  的置信度为 1− 的单侧置信区间, 称  为  的单侧置信下限; 若存在统计 量 ( , , , ),  = X1 X2  Xn 满足 P{  } =1−, 则称 (−, ) 为  的置信度为 1− 的单侧置信区间, 称  为  的单侧置信上限. 例题选讲 寻求置信区间的方法 例 1(E01) 设总体 2 2 X ~ N(, ), 为已知,  为未知, 设 X X X n , , , 1 2  是来自 X 的样 本, 求  的置信水平为 1 − 的置信区间. 解 已知 X 是  的无偏估计, 且 ~ (0,1), / N n X  −  而 N(0,1) 不依赖于任何未知参数. 按 标准正态分布的双侧  分位数的定义, 有 1 , / / 2     = −          − u n X P 即 1 . / / 2       = −       −   + u n u X n P X n 这样, 就得到了  的一个罡信水平为 1− 的置信区间 , , / / 2         −  +    u n u X n X n 常 写成 . / 2            u n X 若取  = 0.05, 即 1− = 0.95, 及  =1,n =16, 查表得 1.96, u / 2 = u0.025 = 则得到一个 置信水平为 0.95 的置信区间 (X  0.49). 若由一个样本值得样本均值的观察值 x = 5.20, 则进一步得到一个置信水平为 0.95 的置 信区间 (5.20  0.49) = (4.71,5.69). 这个区间的含义是: 若反复抽样多次, 每个样本值均确定一个区间, 在这些区间中, 包 含  的约占 95%, 或者说该区间属于包含  的区间的可信程度为 95%. 例 2 设总体 X ~ N(,8),  为未知参数, 1 36 X ,  , X 是取自总体 X 的简单随机样本, 如 果以区间 (X −1, X +1) 作为  的置信区间, 那么置信度是多少? 解 ~ ( , ), 2 X N   所以 . 9 2 , 36 8 ~ ( , , 2        =      =             N N n X N 从而 ~ (0,1), 2 / 3 N X −  依题意 P{X −1   X +1}=1−, 即         −   −        −   + =  2 3 2 3 P{ 1 X  1} 1 2 3 2  −      =  = 2(2.121) −1 = 0.966 =1−, 所求的置信度为 96.6%