教学内容 问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间隔[T,2]上t的一个连续函数, 且v()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为[v()dt, 另一方面这段路程可表示为(72)-(门) ot=s7)-s(7)其中s()=v() 积分上限函数及其导数 设函数∫(x)在区间[a,b上连续,并且设x为[a,b]上的一点,考察定积分 ∫f(x)tx=(oMt 如果上限x在区间[a,6上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对 应值,所以它在ab上定义了一个函数,记(x)=积分上限函数 积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在[ab]上连续,则积分上限的函数x)=[f(x在 上具有导数,且它的导数是()=4M=/()(a≤xsb) 证明:d(x+△x) f(tdt △d=d(x+△x)-d(x) f(Xdt-Cf(dt =∫/(M+yM-oMh 由积分中值定理得△Φ=∫()Ax5∈[x,x+△x] f(, lim =lm f(s Ax→0△x △x一 a(x)=f(x) 补充 如果f()连续,a(x)、b(x)可导,则F(x)=f()的导数F'(x)为2 教 学 内 容 一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t) 是时间间隔 [ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数， 且 v(t)  0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为  2 1 ( ) T T v t dt ， 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T  = −  其中 s (t) = v(t). 二、积分上限函数及其导数 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，并且设 x 为 [a,b] 上的一点，考察定积分  x a f (x)dx  = x a f (t)dt 如果上限 x 在区间 [a,b] 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对 应值，所以它在 [a,b] 上定义了一个函数，记 ( ) ( ) .   = x a x f t dt 积分上限函数 积分上限函数的性质 定理１ 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在 [a,b] 上具有导数，且它的导数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a  = =  (a  x  b) 证明： x x f t dt x x a + ( +  ) = ( )  = (x + x) −(x) f t dt f t dt x a x x a  = − + ( ) ( ) f t dt f t dt f t dt x a x x x x a   = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ,  + = x x x f t dt 由积分中值定理得  = f ( )x  [x, x + x], f ( ), x =   lim lim ( ) 0 0 f  x→ x x→ =   x → 0,  → x  (x) = f (x). 补充 如果 f (t) 连续， a(x) 、b(x) 可导，则 F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数 F(x) 为