F()=xm,/0)=/bx)()-/xy(x) 证F(x)= (Cn+”)yo=广”oMm-f”oM F(x)=/[x)(x)-fa(x)](x) 例1求lmsx 分析:这是0/0型不定式,应用洛必达法则 d (cosx)=snx·e e - dt lim -c 2x TU(edr 例2设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)>0.证明函数F(x)= f(dt (0,+∞)内为单调增加函数 证明女=x(x)女O)=(x xf(x).f(ndt-f(x)L yf(o)dr (c/(o F(x)s(x(x-Df(dr (o) f(x)>0,(x>0):f(>0, (x-1)f(m)>0,∴[(x-)f(t)d>0 F(x)>0(x>0) 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 例3设f(x)在上连续,且f(x)<1证明2x-(M=1在上只有 个解 证明:令F(x)=2x-「f()-1,∵f(x)<,:F(x)=2-f(x)>03   = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x = fb(x)b(x)− fa(x)a (x) 证 F x f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0       = +   f t dt b x  = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x  − F(x) = fb(x)b(x)− fa(x)a (x) 例 1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x  − → 分析：这是 0/0 型不定式，应用洛必达法则. 解：  − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2  − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = −   − e x x sin , 2 cos x x e − =  2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x  − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − →  = . 2 1 e = 例 2 设 f (x) 在 (−,+) 内连续，且 f (x)  0 .证明函数   = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在 (0,+) 内为单调增加函数. 证明:  x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x),  x f t dt dx d 0 ( ) = f (x), 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       −  =    x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0       −  =   x x f t dt f x x t f t dt F x  f (x)  0, (x  0) ( ) 0, 0   x f t dt (x −t) f (t)  0, ( ) ( ) 0, 0  −  x x t f t dt F(x)  0 (x  0). 故 F(x) 在 (0,+) 内为单调增加函数. 例 3 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 − =  x f t dt x 在 [0,1] 上只有 一个解. 证明：令 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − −  F x x f t dt x  f (x) 1, F(x) = 2 − f (x)  0