F(x)在[01]上为单调增加函数 F(0)=-1<0,F(1)=1-f(t=-f()>0, 所以F(x)=0即原方程在[0,1上只有一个解 定理2(原函数存在定理) 如果∫(x)在[u,b]上连续,则积分上限的函数(x)=[f(M就是f(x)在 [a,b]上的一个原函数 定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3(微积分基本公式) 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[ab]上的一个原函数,则 f(xx= F(b-F(a) 证∵已知F(x)是f(x)的一个原函数, 又;(x)=(M也是f(x)的一个原函数 F(x)-d(x)=Cx∈[a,b 令x=a→F(a)-d(a)=C, d(a)=f(xt=0→F(a)=C, F(x)-f(tdt=C (tt= F(x)-F(a) 令x=b→f(x)xtx=F(b)-F(a) 广(xb=F(b)-F()=l(x 牛顿一莱布尼茨公式 微积分基本公式表明:一个连续函数在区间[a,b上的定积分等于它的任意一个原 函数在区间[a,b]上的增量求定积分问题转化为求原函数的问题 注意:当a>b时,[f(xktx=F(b)-F(a)仍成立4 F(x) 在 [0,1] 上为单调增加函数. F(0) = −1 0,  = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt  = − 1 0 [1 f (t)]dt  0, 所以 F(x) = 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解. 定理 2（原函数存在定理） 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 如 果 F(x) 是连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  。 证  已知 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 又  x f t dt x a ( ) = ( ) 也是 f (x) 的一个原函数, F(x) −(x) = C x[a,b] 令 x = a  F(a) −(a) = C, ( ) = ( ) = 0  a f t dt a a   F(a) = C, F(x) f (t)dt C, x a − =   f (t)dt F(x) F(a), x a  = −  令 x = b  f (x)dx F(b) F(a). b a = −  f (x)dx F(b) F(a) b a = −    b a = F(x) 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 [a,b] 上的定积分等于它的任意一个原 函数在区间 [a,b] 上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意：当 a  b 时， f (x)dx F(b) F(a) b a = −  仍成立