从正交向量组的性质知i-1,2,...,m.(α;,αm+1) =(β,α,) -k,(α;,α,),(β,α,)于是取i =1,2,...,m,k,(α,α,)"可得(α;,αm+1)=0,i= 1,2,...,m.即αj,αz,…,αm,αml为正交向量组。由归纳法假设知，对这 m+1个向量构成的正交组可扩充得正交基于是定理得证。69.2标准正交基§9.2 标准正交基 从正交向量组的性质知 1 ( , ) ( , ) ( , ), 1,2, , . i m i i i i       + = − = k i m 于是取 ( , ) 1,2, , , ( , ) i i i i k i m     = = , 1 ( , ) 0 1,2, , . i m   + = = , i m 即     1 2 1 , , , , m m+ 为正交向量组． 由归纳法假设知，对这 m + 1 个向量构成的正交组 可得 可扩充得正交基. 于是定理得证．