§4.4含参量的反常积分的解析性 43节中有关函数级数解析性的结论,也可以用来讨论含参量的反常积分的解析性. 定理42设 1.∫(t1a)是t和z的连续函数,t>a,z∈石, 2.对于任何t≥a,∫(t,2)是上的单值解析函数, 3.积分/f(,2l在百上一致收敛,即v>0,彐T(),当T2>n1>T()时,有 f(t, a)di 则F(2)=/f(t,2)dt在G内是解析的,且 F(a) 证任取一个无界序列{an} =a< <a< 令n()=”(3),则根据37节关于含参量的定积分的解析性的定理,可知n(2)是G内 的单值解析函数.又因为 在石上一致收敛,故根据 Weierstrass定理,知 un(a) f(t, a)dt 在G内解析,且 F()->()=C“0 对于含参量的瑕积分也可以类似地处理 在应用这个定理时,需要判断无穷积分(或瑕积分)是否一致收敛.常用的判别法是:如果存 在函数(),使得(2)<(0,2∈7,而且厂收数,则厂(2在可上绝对而且 致收敛 作为含参量的无穷积分的一个例子,下面讨论积分 F(a e- cos 2zt dt 这个积分中的被积函数显然满足定理的前两个条件,而且因为对于复数z=x+iy,有 Icos 2zt|=vcosh22yt-cos22-t s cosh 2 lytl s e2lytl￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 9 ✟ §4.4 ÓÔÕÖ×ØÙÚÖÛÜÝ 4.3 ➭ ✥ ✙➵✯ ❊❋❊❲❳✇❍Þ➎✔❃❸❹ ① ❿ ➍➎ßàá❍ ❩ ➸ ☎ ▼❍❲❳✇✫ ❇❱ 4.2 ✪ 1. f(t, z) ✗ t ✰ z ✜âã✛✓✔ t > a ✔ z ∈ G ✔ 2. ➄➅❼ä t ≥ a ✔ f(t, z) ✗ G á✜➷➽✙✚✛✓✔ 3. å ➹ Z ∞ a f(t, z)dt ➀ G á✪æÑÒ✔Ü ∀ε > 0 ✔ ∃T (ε) ✔× T2 > T1 > T (ε) ➧✔➆      Z T2 T1 f(t, z)dt      < ε, ◗ F(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ➌ G ✮t ❲❳❍ ✔✤ F 0 (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ✈ ✏ç❘❙ èé ❧♠ {an} a0 = a < a2 < a3 < · · · < an < an+1 < · · · , limn→∞ an = ∞. ● un(z) = Z an+1 an f(t, z)dt ✔ ◗⑦⑧ 3.7 ➭➵❳ßàá❍③☎ ▼❍❲❳✇❍③ ⑧✔❸ê un(z) t G ✮ ❍✰ ✒❲❳✯ ❊✫ë⑤ ❖ F(z) = X∞ n=0 un(z) ➌ G ❚❘✵♥♦✔✇⑦⑧ Weierstrass ③ ⑧✔ê F(z) = X∞ n=0 un(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ➌ G ✮ ❲❳✔✤ F 0 (z) = X∞ n=0 u 0 n (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ➟❳ßàá❍ì ☎ ▼ ❃❸❹íîï⑦ ⑧✫ ➌➑ ① ✆❙③ ⑧ ➻✔ð ⑩➡ñ➳ò☎ ▼ (✦ì ☎ ▼) t s❘✵♥♦✫ ➸①❍➡◆➢t✽ óô❿ ➀✛✓ φ(t) ✔➃➬ |f(t, z)| < φ(t) ✔ z ∈ G ✔ìõ Z ∞ a φ(t)dt ÑÒ✔➟ Z ∞ a f(t, z)dt ➀ G áø➄ìõ ✪æÑÒ✫ ö ❖ßàá❍➳ò☎ ▼❍❘❙✓✁✔ ➔❼➍➎☎ ▼ F(z) = Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt. (4.1) ✆❙☎ ▼ ✥ ❍÷ ☎ ✯ ❊ø❪ ①②③ ⑧ ❍➒❨❙ ❶❷✔➫✤⑤ ❖➟❳❉❊ z = x + iy ✔ ✙ |cos 2zt| = q cosh2 2yt − cos22xt ≤ cosh 2 |yt| ≤ e 2|yt| .