,)( 5、【估值不等式】 设M与m分别是∫(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则 m:aS』(x,y)dasM:a 6、【二重积分的中值定理】 设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点 5,刀),使得 J5(,,)do=f(5,n)o 例1估计二重积分 =2+4y3+9 的值,D是圆域x2+y≤4 解:求被积函数f(x,y)=x2+4y2+9在区域D上可能的最值 2x=0 a =0 (00)是驻点,且∫(0,0)=9 在边界上,f(x,y)=x2+4(4-x2)+9=25-3x2(2≤x≤2) 13Sf(x,y)≤25 25 Imin 于是有 36丌=9.4丌<I5.4丌=100丌 1=[n(x+y)do 12=[x+y)2do, 43=[(x+y)da 例2比较积分 的大小, 其中D是由直给=0,y=0,x+ 2和x+y=1所围成的 解:因为积分域D在直线x+y=1的下方,所以对任意点(x,y)∈D,均有 ≤x+y≤1 ,从而有x+y≥(x+y)2>0,而血n(x+y)<0,故由二重积分的 性质得1≤l2≤l3 小结二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 二重积分的性质5、【估值不等式】 设 与 分别是 在闭区域 上最大值和最小值, 是 的面积,则 6、【二重积分的中值定理】 设函数 在闭区域 上连续, 是 的面积,则在 上至少存在一点 ,使得 例1估计二重积分 的值, 是圆域 . 解: 求被积函数 在区域 上可能的最值 是驻点,且 ； 在边界上, , , 于是有 例2比较积分 ， 的大小， 其中 是由直线 和 所围成的. 解：因为积分域 在直线 的下方，所以对任意点 ，均有 ，从而有 ，而 ，故由二重积分的 性质得 . 小结 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质