声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在 ∫(x,yxσ (2) 中的面积元素d象征着积分和式中的△σ d(■da 0 x 由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线 来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩 形,因此,可以将d记作ddy(并称ddy为直角坐标系下的面积元素),二重积分 ∫(x,yd 也可表示成为D (3)、若∫(x,y)20,二重积分表示以∫(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体 积 、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 【线性性质】 ∫a.f(x,y)+·8(x,y)la=a∫(x,y)da+·』g(x,y)]da 其中:a,尸是常数 2、【对区域的有限可加性】 若区域D分为两个部分区域D,D,则 ∫f(x,y)du-』∫(x,y)da+』∫(x,y)do 3、若在D上,f(x,y)=1,σ为区域D的面积则 σ=‖1dσ=do 几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积 4、若在D上,f(x,y)≤g(x,y),则有不等式 J/(,y) ax,y)do 特别地,由于-|(x,y)sf(x,y)s(x,y),有声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在. (2)、 中的面积元素 象征着积分和式中的 . 由于二重积分的定义中对区域 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线 来划分区域 ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩 形,因此,可以将 记作 (并称 为直角坐标系下的面积元素),二重积分 也可表示成为 . (3)、若 ,二重积分表示以 为曲顶,以 为底的曲顶柱体的体 积. 三、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性质】 其中: 是常数. 2、【对区域的有限可加性】 若区域 分为两个部分区域 ,则 3、若在 上, , 为区域 的面积,则 几何意义: 高为 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 4、若在 上, ,则有不等式 特别地,由于 ，有