冯茜等：多目标粒子群优化算法研究综述 .749 沌映射值，增加遍历性.为了提高多样性，Moslemi 数动态平衡多样性与收敛性之间的关系.合理的 与Zandieh!引入变异算子来保持群体的多样性， 最优粒子选择机制可以协调整个搜索过程中收敛 并且将网格与拥挤距离相结合进行全局最优粒子 性和多样性的关系.优化过程中，为了能够确保快 的选择.多尺度混沌变异策略5网被用来帮助算法 速收敛的同时多样性得以维护，Hu与Yen基于 “跳出”局部最优.王学武等1基于三种变异算子 非支配解的分布嫡进行环境估计，采用新颖的自 设计变异策略，并根据随机数的值进行选择，以增 适应动态方式，将最优粒子选择、外部存储集维 强所得解的多样性 护、参数调节以及扰动等环节均融于平行单元坐 3.3收敛性的提高手段 标系中 虽然粒子群算法进行单目标优化时，在收敛 设定参考点有利于减轻选择压力)，Wu等网 性能方面具有显著优势，但是用于多目标优化时， 以预定义的参考点为主要标准，以相邻粒子间欧 由于目标数目和维度的增加，会导致解的数量急 几里德距离为附加选择标准，提高算法性能.还使 剧增多，为了能够既不失多样性，又快速获得最优 用估计策略识别进化状态，动态调整最优选择机 解集，需要提高算法的收敛性能，有利于提高算法 制，加强开发阶段的收敛速度，维护探索阶段的多 效率 样性，通过平衡开发和探索之间关系的方式达到 为了加速收敛，Peng等6设计了一种跟随非线 动态协调收敛性和多样性的目的.Figueiredo等阿 性惯性权重系数变化的动态学习因子，Li等6采 采用搜索过程中的目标空间超平面上的动态参考 用岛屿模型将整个种群进行划分，生成的子群以 点以及聚集方法，促进多目标优化过程中收敛性 并行运行方式提高算法的收敛速度.Xu等6%以间 和多样性之间的平衡关系 隔迭代方式将多目标二分法线性搜索方法融入 此外，为了协调快速开发和深入探索之间的关 MOPSO算法，加强了局部搜索能力，以促进种群 系，Lin等提出多搜索策略多目标粒子群算法， 向真实帕累托前沿的收敛.Cheng等Is7基于局部 将收敛性和多样性作为两个不同目标，基于预设阈 最优粒子策略引导种群快速向帕累托最优前沿 值分别采用不同的粒子速度更新策略.Hu等m提 逼近 出偏重收敛性和多样性的两阶段策略，第一阶段 聚类策略的引入，有利于提高种群的搜索速 基于聚合原理，第二阶段基于平行单元坐标系理 度.于慧等61基于动态聚类思想划分种群，提高 论，以便在不同阶段针对性提高算法的收敛性和 收敛速度的同时减少了种群多样性损失.Lu等69 多样性.受到鸟类觅食时线性和圆形行为的启发， 将种群划分后，通过子群间共享信息的协同进化 Meza等81基于粒子群体的旋转和平移运动方式 方式提高收敛速度，以应对实际应用时环境变化 提出涡旋多目标粒子群优化算法.线性运动帮助 快速的动态优化问题.Han等o采用多目标梯度 种群收敛，而圆形运动有助于个体分散搜索；参数 方法，通过计算每个粒子全部单位方向的加权和 选择基于粒子的动态行为，兼顾了收敛性和多样 确定多梯度下降方向，以加速收敛 性.Pan等网采用增量嫡方法设计自适应因子，调 3.4多样性和收敛性的平衡方法 节收敛性和多样性之间的动态平衡关系，基于离 通常情况下，我们希望在全局开发阶段，重视 散解耦策略分解目标，构建子群，通过协同进化实 多样性的同时加速收敛，以提高搜索效率：另一方 现多目标优化.还有一些文献基于分解思想来权 面，在局部搜索阶段，加强收敛性能的同时能够减 衡开发和探索之间的关系.Liu等I0将瓶颈目标 少多样性损失，以避免算法过早收敛.无论哪一阶 学习策略融入分解机制，Moubayed等B将Pareto 段，都应对收敛性和多样性两个性能指标进行兼 支配与分解两种优化策略进行融合，用于权衡收 顾，以确保高效、精准的优化结果 敛性和多样性 研究人员提出了多种策略对优化过程进行状 3.5迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案 态评估，自适应调整收敛性和多样性的权重，从而 为了提高粒子群算法的性能，一些文献还提 达到动态协调两个性能指标的目的.平衡适应度 出从迭代公式、参数整定以及拓扑结构等方面进 估计策略四能够帮助实现外部存储集中非支配解 行改进 的选择，并在外部档案上进一步运行进化搜索，加 迭代公式改进方面，Lin等增加粒子个体朝 强了精英个体之间信息交换.该策略由收敛性距 向全局最佳粒子的引领搜索项，使得粒子在搜索 离和多样性距离两部分构成，根据二者的权重系 过程中有可能获得更多扰动.Yao等增加了子沌映射值，增加遍历性. 为了提高多样性，Moslemi 与 Zandieh [62] 引入变异算子来保持群体的多样性， 并且将网格与拥挤距离相结合进行全局最优粒子 的选择. 多尺度混沌变异策略[58] 被用来帮助算法 “跳出”局部最优. 王学武等[63] 基于三种变异算子 设计变异策略，并根据随机数的值进行选择，以增 强所得解的多样性. 3.3    收敛性的提高手段 虽然粒子群算法进行单目标优化时，在收敛 性能方面具有显著优势，但是用于多目标优化时， 由于目标数目和维度的增加，会导致解的数量急 剧增多，为了能够既不失多样性，又快速获得最优 解集，需要提高算法的收敛性能，有利于提高算法 效率. 为了加速收敛，Peng 等[64] 设计了一种跟随非线 性惯性权重系数变化的动态学习因子. Li 等[65] 采 用岛屿模型将整个种群进行划分，生成的子群以 并行运行方式提高算法的收敛速度. Xu 等[66] 以间 隔迭代方式将多目标二分法线性搜索方法融入 MOPSO 算法，加强了局部搜索能力，以促进种群 向真实帕累托前沿的收敛. Cheng 等[67] 基于局部 最优粒子策略引导种群快速向帕累托最优前沿 逼近. 聚类策略的引入，有利于提高种群的搜索速 度. 于慧等[68] 基于动态聚类思想划分种群，提高 收敛速度的同时减少了种群多样性损失. Liu 等[69] 将种群划分后，通过子群间共享信息的协同进化 方式提高收敛速度，以应对实际应用时环境变化 快速的动态优化问题. Han 等[70] 采用多目标梯度 方法，通过计算每个粒子全部单位方向的加权和 确定多梯度下降方向，以加速收敛. 3.4    多样性和收敛性的平衡方法 通常情况下，我们希望在全局开发阶段，重视 多样性的同时加速收敛，以提高搜索效率；另一方 面，在局部搜索阶段，加强收敛性能的同时能够减 少多样性损失，以避免算法过早收敛. 无论哪一阶 段，都应对收敛性和多样性两个性能指标进行兼 顾，以确保高效、精准的优化结果. 研究人员提出了多种策略对优化过程进行状 态评估，自适应调整收敛性和多样性的权重，从而 达到动态协调两个性能指标的目的. 平衡适应度 估计策略[71] 能够帮助实现外部存储集中非支配解 的选择，并在外部档案上进一步运行进化搜索，加 强了精英个体之间信息交换. 该策略由收敛性距 离和多样性距离两部分构成，根据二者的权重系 数动态平衡多样性与收敛性之间的关系. 合理的 最优粒子选择机制可以协调整个搜索过程中收敛 性和多样性的关系. 优化过程中，为了能够确保快 速收敛的同时多样性得以维护，Hu 与 Yen [72] 基于 非支配解的分布熵进行环境估计，采用新颖的自 适应动态方式，将最优粒子选择、外部存储集维 护、参数调节以及扰动等环节均融于平行单元坐 标系中. 设定参考点有利于减轻选择压力[73] ，Wu 等[74] 以预定义的参考点为主要标准，以相邻粒子间欧 几里德距离为附加选择标准，提高算法性能. 还使 用估计策略识别进化状态，动态调整最优选择机 制，加强开发阶段的收敛速度，维护探索阶段的多 样性，通过平衡开发和探索之间关系的方式达到 动态协调收敛性和多样性的目的. Figueiredo 等[75] 采用搜索过程中的目标空间超平面上的动态参考 点以及聚集方法，促进多目标优化过程中收敛性 和多样性之间的平衡关系. 此外，为了协调快速开发和深入探索之间的关 系，Lin 等[76] 提出多搜索策略多目标粒子群算法， 将收敛性和多样性作为两个不同目标，基于预设阈 值分别采用不同的粒子速度更新策略. Hu 等[77] 提 出偏重收敛性和多样性的两阶段策略，第一阶段 基于聚合原理，第二阶段基于平行单元坐标系理 论，以便在不同阶段针对性提高算法的收敛性和 多样性. 受到鸟类觅食时线性和圆形行为的启发， Meza 等[78] 基于粒子群体的旋转和平移运动方式 提出涡旋多目标粒子群优化算法. 线性运动帮助 种群收敛，而圆形运动有助于个体分散搜索；参数 选择基于粒子的动态行为，兼顾了收敛性和多样 性. Pan 等[79] 采用增量熵方法设计自适应因子，调 节收敛性和多样性之间的动态平衡关系，基于离 散解耦策略分解目标，构建子群，通过协同进化实 现多目标优化. 还有一些文献基于分解思想来权 衡开发和探索之间的关系. Liu 等[80] 将瓶颈目标 学习策略融入分解机制，Moubayed 等[34] 将 Pareto 支配与分解两种优化策略进行融合，用于权衡收 敛性和多样性. 3.5    迭代公式、参数、拓扑结构的改进方案 为了提高粒子群算法的性能，一些文献还提 出从迭代公式、参数整定以及拓扑结构等方面进 行改进. 迭代公式改进方面，Lin 等[71] 增加粒子个体朝 向全局最佳粒子的引领搜索项，使得粒子在搜索 过程中有可能获得更多扰动. Yao 等[43] 增加了子 冯    茜等： 多目标粒子群优化算法研究综述 · 749 ·