中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 (3)如果j∈S是非常返的,则对vieS,有∑pm<; P (4)设j,则和j或者都是正常返的,或者都是非常返的, 或者都是零常返的 (5)若状态i∈S是常返的,则i是零常返的limp"=0 (6)如果j∈S是零常返的,则对vi∈S,有lmp=0。 证明:对于序列{p,n20和{f,n21,分别引入其母函数为: ()=∑Ps"=o,+∑ F,(s)=∑f 上面两个级数当s<时,都是绝对收敛的。利用公式 p=∑fp 我们有 P(s)=6,+∑ps=6,+∑∑ J ∑m"s∑(pm"s") 6,+∑f s∑(PS E,(s)P,(s) 令 由上式,有中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 6 （3） 如 果 j S 是非常返的，则对 iS ， 有     =0 ( ) n n pi j ； lim 0 ( ) = → n i j n p 。 （4） 设 i  j ，则 i 和 j 或者都是正常返的，或者都是非常返的， 或者都是零常返的。 （5） 若状态 iS 是常返的，则 i 是零常返的  lim 0 ( ) = → n i i n p （6） 如果 j S 是零常返的，则对 iS ，有 lim 0 ( ) = → n i j n p 。 证明：对于序列  , 0 ( ) p n  n i j 和  , 1 ( ) f n  n i j ，分别引入其母函数为：    =  = = = + 1 ( ) 0 ( ) ( ) n n n i j i j n n n i j i j P s p s  p s   = = 1 ( ) ( ) n n n i j i j F s f s 上面两个级数当 s 1 时，都是绝对收敛的。利用公式： = − = n v n v j j v i j n pi j f p 1 ( ) ( ) ( ) 我们有： ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) F s P s f s p s f s p s f s p s P s p s f p s i j i j j j m m m j j v v v i j i j n v n v n v j j v v v i j i j n n v n v n v j j v v i j i j n n n v n v j j v i j i j n n n i j i j i j = + = + = + = +       = + = +          =  =  = − −  =  = = − −  = = −  =       令 j = i ，由上式，有：