第2章时域中韵离散信号和系统 和计算带来革命性的好处。例如要求出图7-2所示的滤波器的系统函数： 先列出方程，令q7,得到 =6+,8=g1:=6-KX2,X0=9,1=k0叶X2云，X2=gX0 1=1=C12+C1+C)+C3 这是一组含有13个变量的3个联立方程，用过去的手工方法一个一个消元，理论上是可 行的，但它运算极其繁琐，可以预期，95%以上的师生恐怕一个小时也解不出来，而且做对的 概率极低。 用矩阵的思路和方法来解就完全不同，它不是通过消元来减少变量，而是想办法补上所有 的零元素，把方程扩充为完整的矩阵形式： X =u-kx 0.0.0.-k.0.0.0.0.0.0.0.0.0x 「1 00 0, 00 x=kx,+x 0 0 0. 0. 0 0 0. 0 x=kx+x X 玉= X=X6 u=Xo 000 x,=kX。+x 0.0. 0 1.0 x2=90 2 0.0 0 0 0 0 0.0.0 0 Xg三… x13 0,0,C,0,0,0,C,0,0,0,C.C,0L 台X=OX+PU.→X/U=inwI-O)P 看似把模型搞复杂了，其实计算却非常容易。程序pla703先对P,Q矩阵赋值，键入 W=invI-Q)*P,马上就得出了系统函数。 编程时要注意，本例虽然是数值计算，但计算的内容中带有z变换算子q',所以P,Q 矩阵仍然必须用符号属性，对P,Q赋值时第一个元素必须取含q的算式。熟练后不必列出Q 和P的矩阵形式，可以按其下标规律直接进行元素赋值。 用以下参数：k=1,k1=14,k=12.k=1/3.C0=02,C1=0.8.C=1.5C3=1,编成了程序 pla703。运行此程序就得到： w13)=13)_24g+49g2+42.9g+30.824:+49:2+429e+30.8 8q+15g2+13g+24 8+1522+13z+24 用矩阵模型解信号流图的最大优点是一步到位，依靠计算机，既快速，又极易查错 7.3计算频谱用的DFT矩阵 有限长序列x(m)(0≤n≤1)有W个样本值。它的傅里叶变换X(k)在频率区间(0≤⊙ <2π)的W个等间隔分布的点o=2kN(0≤k≤N-1)上也有N个样本值。这两组有限长的 序列之间可以用简单的关系联系起来： 2 第 2 章 时域中的离散信号和系统 ·2· 2 和计算带来革命性的好处。例如要求出图 7-2 所示的滤波器的系统函数： 先列出方程，令 q=z-1，得到 x1= u− k3x4; x2=x1; x3=k3x2+x4; x4=qx7; x5= x2− k2x8; x6=x5; x7=k2x6+x8; x8=qx11; x9= x6− k1x12; x10=x9; x11=k1x10+x12; x12=qx10; x13=y= C0x12+ C1x11+ C2x7+ C3x3 这是一组含有 13 个变量的 13 个联立方程，用过去的手工方法一个一个消元，理论上是可 行的，但它运算极其繁琐，可以预期，95%以上的师生恐怕一个小时也解不出来，而且做对的 概率极低。 用矩阵的思路和方法来解就完全不同，它不是通过消元来减少变量，而是想办法补上所有 的零元素，把方程扩充为完整的矩阵形式： 1 3 4 2 1 3 3 2 4 4 7 5 2 2 8 6 5 7 2 1 2 3 4 6 5 6 7 8 9 8 8 11 9 6 1 12 10 9 11 1 10 12 12 10 13 10 11 12 13 - - - x u k x x x x k x x x qx x x k x x x x k x x x qx x x k x x x x k x x x qx x x x x x x x x x x x x x x = = = + = = = =                                                       + = =   = = + = = 3 3 0, 0, 0, - , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, , 0, 1, 0, 0, 0, k k =         2 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, q, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, - , 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, k 2 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, , 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, q, 0, k 1 0 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, - , 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, k 1 3 2 1 0 0, , 0, 1, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, q, 0, 0, 0 0, 0, C , 0, 0, 0, C , 0, 0, 0, C , C , 0 k                     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x u x x x x x x                                         +                                             X = QX + PU X U = inv(I - Q)* P , / 看似把模型搞复杂了，其实计算却非常容易。程序 pla703 先对 P，Q 矩阵赋值，键入 W = inv(I - Q)* P ，马上就得出了系统函数。 编程时要注意，本例虽然是数值计算，但计算的内容中带有 z 变换算子 q=z-1，所以 P，Q 矩阵仍然必须用符号属性，对 P，Q 赋值时第一个元素必须取含 q 的算式。熟练后不必列出 Q 和 P 的矩阵形式，可以按其下标规律直接进行元素赋值。 用以下参数：k0=1, k1=1/4, k2=1/2, k3=1/3, C0=-0.2, C1=0.8, C2=1.5, C3=1，编成了程序 pla703。运行此程序就得到： 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 (13) 24 49 42.9 30.8 24 49 42.9 30.8 (13) 8 15 13 24 8 15 13 24 x q q q z z z W u q q q z z z − − − − − − = + + + + + + = = + + + + + + 用矩阵模型解信号流图的最大优点是一步到位，依靠计算机，既快速，又极易查错。 7.3 计算频谱用的 DFT 矩阵 有限长序列 x(n)(0≤n≤N-1)有 N 个样本值。它的傅里叶变换 X k( ) 在频率区间（0≤ω ＜2π）的 N 个等间隔分布的点ωk=2πk/N(0≤k≤N-1)上也有 N 个样本值。这两组有限长的 序列之间可以用简单的关系联系起来：