例题 例1求微分方程初值问题 ut aux=0 u(x,0)=p(x) 的解 解设u(x,t)关于自变量x的Fourier变换为 十00 (w,)= u(x,t)e-ioxdx. 对方程两边关于自变量x做Fourier变换，得 tt(ω，t)+iωat(ω，t)=0, 解这个微分方程得到(w,t)=Ce-iwat.再对初始条件两边做Fourier变 换，得到(w,0)=(w),于是C=(w),即(w,t)=(w)e-iwat.例题 例1 求微分方程初值问题 ቊ 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑥 = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥) 的解． 解 设 𝑢(𝑥,𝑡) 关于自变量 𝑥 的 Fourier 变换为 𝑢ො 𝜔,𝑡 = න −∞ +∞ 𝑢 𝑥,𝑡 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 ． 对方程两边关于自变量 𝑥 做 Fourier 变换，得 𝑢ො𝑡 𝜔,𝑡 + 𝑖𝜔𝑎𝑢ො 𝜔,𝑡 = 0， 解这个微分方程得到 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝐶𝑒 −𝑖𝜔𝑎𝑡．再对初始条件两边做 Fourier 变 换，得到 𝑢ො 𝜔, 0 = 𝜑ො(𝜔)，于是 𝐶 = 𝜑ො(𝜔)，即 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑ො(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑎𝑡．