第五节、函数幂级数展开式的应用 教学目的:了解函数的幂级数的展开式的应用。 教学重点:如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算 教学难点:函数展开成幂级数的间接方法,近似计算中的误差估计 教学内容 定理:设函数f(x)在点和0的某一邻域U(x0)内只有各阶导数,则f(x)在该邻 域内能展开成 Taylor级数的充分条件是f(x)的 Taylor公式中的余项R2(x)当n→0时 的极限为零。 取x0=0时,称为函数f(x)的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 (1)直接方法:①求∫(x)的各阶导数 ②求(O(=12 ③写出幂级数x0nl 且求出R ④考察余项(x)是否趋于零?如趋于零,则∫(x)在(-R,B)内的幂级数 f“(0)2,,f)(0) 展开式为 Jf(x)=f(0)+f(0)x+ 2 x2+…(-R<x<R) 例可用此法分别求出e和smx的展开式: e2=1+x++…+-+…(-00<x<+0) 2N-1 sin x=x +…(-00<x<+0) (2)间接方法:利用幂级数可以逐项求导,逐项积分进行 cosX=【s x)=1 +…+(-1 +…(-00<x<+00) (2x) 注:必须熟记五个函数的幂级数展开式:e,Sx,cosx,ln(1+x),、(1+x) 2.函数的幂级数展开式的应用 (1).利用马克劳林级数计算371115之值 令原式9,则2-ng=amn=0,即P=x;原式sx (2).计算极限 X- Sin X x-(x-x3+ (3).近似计算 ①求e的近似值,要求误差不超过0.0001 解取e的马克劳林展开式第五节、函数幂级数展开式的应用 教学目的：了解函数的幂级数的展开式的应用。 教学重点：如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算。 教学难点：函数展开成幂级数的间接方法，近似计算中的误差估计 教学内容： 1. 定理：设函数 在点 的某一邻域 内只有各阶导数，则 在该邻 域内能展开成Taylor级数的充分条件是 的Taylor公式中的余项 当 时 的极限为零。 取 时，称为函数 的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 ⑴直接方法：①求 的各阶导数 ②求 ③写出幂级数 ，且求出 ④考察余项 是否趋于零？如趋于零，则 在 内的幂级数 展开式为 例  可用此法分别求出 和 的展开式： ⑵间接方法：利用幂级数可以逐项求导，逐项积分进行 如  注:必须熟记五个函数的幂级数展开式： 2.  函数的幂级数展开式的应用 (1).利用马克劳林级数计算 之值 令原式= ，则 ，即 ∴原式 (2).计算极限 (3).近似计算 ①求 的近似值，要求误差不超过0.0001 解  取 的马克劳林展开式：