证:∵ lim x sn-=0,又f(0)=0,lnf(x)=f(0) 由定义2知函数f(x)在x=0处连续 3单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x0 则称f(x)在点x处左连续 若函数f(x)在[x,b)内有定义,且f(x+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理:函数∫(x)在x处连续台是函数f(x)在x处既左连续又右连续 x+2,x≥0, 例2讨论函数f(x)=1x-2,x 在x=0处的连续性 0 A: Im f(r)=lm(+2)=2=f(o) lim f(x)=lm(x-2)=-2*f(o) x→0 右连续但不左连续,故函数f(x)在点x=0处不连续 4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间 上连续 如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续 在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如:有理函数在区间(-∞,+∞)内是连续的 例3证明函数y=snx在区间(∞,+∞)内连续 证:任取x∈(-0,+∞) △x y=sin(x+Ax)-sin x =2sin.cos(x+-) cos(x+ 251.则Ays2si 对任意的a,当a≠O时,有sna<a, 故Ay2m2(1:当△x→0时4y→03 证： 0, 1 lim sin 0 = → x x x  又 f (0) = 0, lim ( ) (0), 0 f x f x = → 由定义 2 知 函数 f (x)在x = 0处连续. 3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 定理： ( ) ( ) . 函数 f x 在 x0 处连续  是函数 f x 在 x0处既左连续又右连续 例 2 0 . 2, 0, 2, 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性    −  +  = x x x x x f x 解： lim ( ) lim ( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2 = f (0), lim ( ) lim ( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2  f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间 上连续. , ( ) [ , ] . ( , ) , , 在右端点 处左连续 则称函数 在闭区间 上连续 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 处右连续 x b f x a b a b x a = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如： 有理函数在区间 (−,+)内是连续的. 例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证： 任取x(−,+), y = sin( x + x) −sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x   +  = ) 1, 2 cos(   + x  x . 2 2sin x y  则   对任意的,当  0时, 有sin  , , 2 2sin x x y    故   当x →0时,y →0