优化迭代过程中，发热率与相对密度的关系取以下 过如下列式求得： 形式的插值模型： P,=9,N do. (9) 4,=4%0-p5) (2) 其中，N,为单元形函数矩阵。因此，将材料差值模 本文计算中，选取=3月=1 型(1)(2)式代入(8)，就可以获得目标函数敏度 的解析表达： 1.2设计问题的建立 aC =-2BpaoN,do.)T, 对于稳态热传导问题，有限元控制方程可以为： ap (10) KT=P -BP-(k。-kTKT 为热载荷向量。本文中采用最小散热弱度（热势容） 若计算过程中认为高导热材料的布置不影响热源的 C=PT作为设计目标，建立如下拓扑优化问题的 布局，此时，目标函数的敏度可以表达为： 提法： ac =-RP(k。-kTKT, 11) find:X=(x) ap, min:C=PT (④其中，K为具有单位热传导系数的单元热传导矩 阵。对于二维正方形单元，K可以写成： 2 1 1 1 3 6 3 6 式中，y,为第个单元的面积（体积），V为设 域2的面积（体积），y,为体积分数。 K 6 3 (12) 2 1.3敏度分析 3 Γ6 6 目标函数关于设计变量的敏度可以表达为： L6 6 3 rP (5) 从式(10)和(11)可以看出，对于是否考虑高导 dp. 热材料的布置对于热源的影响，目标函数敏度的表 对平衡方程(3)取微分可以得到： 法且右非常大的芳别 T水部罗 为了避免棋盘格现象和尽可能减少网格相关 ap,ap, (6 性，在本文计算中采用了敏度过滤技术，改写敏度 形式如下： 于是/ap,可以写成 1 (13) (7) ,=-dist(j).indist(jsr 将式(7)代入式(5)，可以得到目标函数的敏度可 以表达为： 气为山为单元与单元1中心之间的距高 -r 1.4迭代流程 ap, 本文中，优化列式(4)的求解采用序列线性规 (8) 划方法(SLP)。完整的拓扑优化迭代流程如下： 步骤1：问题初始化。定义设计域、设计变量 初值和过滤半径，施加载描和边界条件。 其中，卫，为第个单元的节点热荷载向量，可以通 步骤2：稳态温度场分析。将设计与离散成有 优化迭代过程中，发热率与相对密度的关系取以下 形式的插值模型： 2 0 (1 ) P j j q q = − ρ (2) 本文计算中，选取 1 2 P P = = 3, 1。 1.2 设计问题的建立 对于稳态热传导问题，有限元控制方程可以为： KT = P (3) 其中，K 为总热传导矩阵，T 为节点温度向量，P 为热载荷向量。本文中采用最小散热弱度（热势容） T C = P T 作为设计目标，建立如下拓扑优化问题的 提法： ( )T 1 2 T 1 find: , , , , min: s.t.: j N N j j j f X C v v V ρρ ρ ρ ρ = = = =  P T   (4) 式中， j v 为第 j 个单元的面积（体积），V 为设计 域Ω 的面积（体积）， f v 为体积分数。 1.3 敏度分析 目标函数关于设计变量的敏度可以表达为： T T j j j C ρρ ρ ∂∂ ∂   = +   ∂∂ ∂     P T T P (5) 对平衡方程（3）取微分可以得到： ρ ρρ j j j ∂ ∂∂ + ∂ ∂∂ K TP TK = (6) 于是 ρ j ∂ ∂ T 可以写成 1 1 ρρρ j jj ∂ ∂∂ − − − ∂∂∂ T PK =K K T (7) 将式（7）代入式（5），可以得到目标函数的敏度可 以表达为： T T T 2 2 jj j j j j j j j j C ρρ ρ ρ ρ ∂∂ ∂   = −   ∂∂ ∂       ∂ ∂ = −     ∂ ∂   T P K TT T P K TT T (8) 其中， Pj 为第 j 个单元的节点热荷载向量，可以通 过如下列式求得： d e j jj e q Ω = Ω  P N (9) 其中，N j 为单元形函数矩阵。因此，将材料差值模 型（1）（2）式代入（8），就可以获得目标函数敏度 的解析表达： ( ) 2 1 1 2 0 1 0 1 0 2 d ( ) e P j j ej j P j p j ej C P q P kk ρ ρ ρ − Ω − ∂ =− Ω ∂ − −  T N T TKT (10) 若计算过程中认为高导热材料的布置不影响热源的 布局，此时，目标函数的敏度可以表达为： 1 1 0 1 0 ( ) P j p j ej j C P kk ρ ρ ∂ − =− − ∂ T TKT (11) 其中， 0 Ke 为具有单位热传导系数的单元热传导矩 阵。对于二维正方形单元， 0 Ke 可以写成： 0 2 111 3 636 12 1 1 63 6 3 1 12 1 3 63 6 1 1 12 6 3 63 e   −−−       − −−   =   −− −      −−−    K (12) 从式（10）和（11）可以看出，对于是否考虑高导 热材料的布置对于热源的影响，目标函数敏度的表 达具有非常大的差别。 为了避免棋盘格现象和尽可能减少网格相关 性，在本文计算中采用了敏度过滤技术，改写敏度 形式如下： 1 1 min min 1 ˆ , ˆ ˆ dist( ),{ dist( ) } n n i i i j i j i i i C C H H H r j,i i n j,i r ρ ρ ρ ρ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ =− ∈ ≤    (13) 其中，dist( ) j,i 为单元 j 与单元 i 中心之间的距离， min r 为过滤半径。 1.4 迭代流程 本文中，优化列式（4）的求解采用序列线性规 划方法（SLP）。完整的拓扑优化迭代流程如下： 步骤 1：问题初始化。定义设计域、设计变量 初值和过滤半径，施加载荷和边界条件。 步骤 2：稳态温度场分析。将设计与离散成有