限元网格，采用有限元法计算式(3)，获得结构温 忽路高导热材料的布置对于热题的影响，仅采用(1) 度场。 式的材料差值格式，通过(11)式的嫩度分析更新 步骤3：目标函数与敏度计算。计算日标函数 设 。图2给出了目标函数的迭代历史以及高导热 以及通过式(10)获得目标函数关于设计变量的敏 材料布局的演化情况，图3给出了第1、25、50 度表达，并通过式(13)对敏度进行过滤。 300迭代步拓扑结果，图中设计域内黑色部分表征 步骤4：设计变量更新。采用序列线性规划方 高导热材料，白色区域为自发热材料。从高导热材 法(SLP)对设计变量进行更新 料布局演化过程可以看出，从靠近热沉处开始布置 步骤5：收敛判断。若收敛，选代停止：若不 随后延伸进入远离热源的区域，最终汇聚到热沉处 收敛，返回步骤2，重复步骤2-5。 耗散。 2算例与讨论 本节采用二维拓扑优化算例验证所提出的方 法的正确性和有效性。为了对比不同的计算结果， 定义无量纲峰值温度2,291为： 9.4/k。 (14) 其中，T和T分别为设计域？中的最大温度 iteration 25iteration 和最小温度。值越小表明结构的导热性能越好。 算例中结构尺寸和材料单位均采用无量纲量。 如图1所示，结构尺度为100100，采用正方形平 面单元离散结构，单元边长为1。发热材料的热作 导系数为k。=0.01,高导热材料热传导系数为 k。=1,设计域内发热材料单位面积生热率均为 9%=0.01,热沉处温度为,=0,体积分数 =0.15。优化参数过滤半径 =2,初始材料 50 iteration 布局均为材料相对密度（设计变量）为体积分数的 图3第1、25、50、300迭代步拓扑结果 均匀分布。 Fig.3Topology results of 150hiterations. 2.1算例1：贴片式散热通道设计 16*10 2.2算例2：植入式散热通道设计 本算例中考虑植入高导热材料对热源布局影 响，采用(1)和(2)式材料差值模型，通过(10】 式的敏度分析更新设计。图4给出了目标函数的 10 代历史以及高导热材料布局的演化情况。从图4中 可以看出，目标函数值随着迭代数的增加平稳下降， 最终收敛，最优拓扑为类似树形的结构。高导热材 料布局演化过程与算例1具有明显不同，高导热材 料的布置同时受到热沉（散热处）和热流荷载的 响，迭代开始时将材料布置在靠近热沉处和远离热 50 100 150 200 250 沉处（温度较高），这种布局方式能够将靠近热沉的 图2目标迭代历史 热量迅速传走，并且使得远离热沉处（高温区域） Fig.2 Iteration history of obiective function 的发热量减少。随后两部分材料逐渐相连形成散热 通道，将远离热沉区域的热量传递出来，最终获得 本算例在计算过程中认为热源是均匀分布的， 最优结果。为了进一步说明上述现象，图5给出了 第1、25、50、300迭代步拓扑结果，图6给出了相限元网格，采用有限元法计算式（3），获得结构温 度场。 步骤 3：目标函数与敏度计算。计算目标函数， 以及通过式（10）获得目标函数关于设计变量的敏 度表达，并通过式（13）对敏度进行过滤。 步骤 4：设计变量更新。采用序列线性规划方 法（SLP）对设计变量进行更新。 步骤 5：收敛判断。若收敛，迭代停止；若不 收敛，返回步骤 2，重复步骤 2-5。 2 算例与讨论 本节采用二维拓扑优化算例验证所提出的方 法的正确性和有效性。为了对比不同的计算结果， 定义无量纲峰值温度[27, 29 ]为： max min 0 0 T T qAk τ − = (14) 其中，Tmax 和Tmin 分别为设计域 Ω 中的最大温度 和最小温度。τ 值越小表明结构的导热性能越好。 算例中结构尺寸和材料单位均采用无量纲量。 如图 1 所示，结构尺度为 100 100，采用正方形平 面单元离散结构，单元边长为 1。发热材料的热传 导系数为 0 k = 0.01 ，高导热材料热传导系数为 1 p k = ，设计域内发热材料单位面积生热率均为 0 q = 0.01 ，热沉处温度为 0 T = 0 ，体积分数 0.15 f v = 。优化参数过滤半径 min r = 2 ，初始材料 布局均为材料相对密度（设计变量）为体积分数的 均匀分布。 2.1 算例 1：贴片式散热通道设计 图 2 目标迭代历史 Fig. 2 Iteration history of objective function 本算例在计算过程中认为热源是均匀分布的， 忽略高导热材料的布置对于热源的影响，仅采用（1） 式的材料差值格式，通过（11）式的敏度分析更新 设计。图 2 给出了目标函数的迭代历史以及高导热 材料布局的演化情况，图 3 给出了第 1、25、50、 300 迭代步拓扑结果，图中设计域内黑色部分表征 高导热材料，白色区域为自发热材料。从高导热材 料布局演化过程可以看出，从靠近热沉处开始布置， 随后延伸进入远离热源的区域，最终汇聚到热沉处 耗散。 1st iteration 25th iteration 50th iteration 300th iteration 图 3 第 1、25、50、300 迭代步拓扑结果 Fig.3 Topology results of 1st , 25th ,50th ,300th iterations. 2.2 算例 2：植入式散热通道设计 本算例中考虑植入高导热材料对热源布局影 响，采用（1）和（2）式材料差值模型，通过（10） 式的敏度分析更新设计。图 4 给出了目标函数的迭 代历史以及高导热材料布局的演化情况。从图 4 中 可以看出，目标函数值随着迭代数的增加平稳下降， 最终收敛，最优拓扑为类似树形的结构。高导热材 料布局演化过程与算例 1 具有明显不同，高导热材 料的布置同时受到热沉（散热处）和热流荷载的影 响，迭代开始时将材料布置在靠近热沉处和远离热 沉处（温度较高），这种布局方式能够将靠近热沉的 热量迅速传走，并且使得远离热沉处（高温区域） 的发热量减少。随后两部分材料逐渐相连形成散热 通道，将远离热沉区域的热量传递出来，最终获得 最优结果。为了进一步说明上述现象，图 5 给出了 第 1、25、50、300 迭代步拓扑结果，图 6 给出了相