三、随机变量的独立性。 在第一章中,我们介绍了事件独立性的概念。利用事件的独立性我们常常可以大大简化有 关的计算。现在我们再来介绍一下随机变量的独立性 定义:设F(x1,x2,…xn)为随机向量X=(X1,X2,…X)的联合分布函数,若对任意x,x,…xn,有 F(x,x,…xn)=F(x)·F2(x)…Fn(xn 则称随机变量X1,X2,…Xn互相独立。其中F1,F2,…Fn分别为X1,X2,…Xn的分布函数。 对于离散型随机变量,独立性定义等价于对任意一组可能取值x1,x2,…xn,有: P(X=x,X2=x,…Xn=xn=P1(X1=x)·P2(X2=x2)…Pn(Xn=xn 对于连续型随机变量,独立性定义等价于对一切x1,x2,…xn,有: fx1,x2,…xn)=f(x)·f(x)…fn(x 其中f为随机向量的联合密度函数,f,f2,…fn分别为各分量的密度函数 可以证明,若随机变量X1,X2,…X互相独立,则从中任意取出的一个子集合X1,X2,…X1 也互相独立。它们的下标应满足:1≤i1<i2<…<im≤n 从随机变量独立性的定义可知,它与事件独立性的定义是非常相似的。事件独立性是说交 事件的概率等于事件概率的乘积,而随机变量独立是说联合分布函数可写成一串边际分布的乘 积。因此只有在独立的情况下联合分布函数才会被边际分布函数所唯一确定。回想例2.3摸球的 例子,由于有放回摸球各次结果是独立的,因此从它所构造出来的随机变量也是独立的;而无 放回摸球前一次结果对第二次摸球有影响,它们不是独立的,因此从不放回摸球构造出的随机 变量也不是独立的。随机变量的独立性是一个很重要的概念,我们以后要学习的各种统计方法 基本上都是只能用于互相独立的随机变量。一般来说随机变量的独立性都是靠专业知识来保证 而不是验证它们的分布函数是否可写成乘积的形式。这一点与事件组的独立性也是十分相似的 §25随机变量的数字特征 以前我们都是用概率分布来描述随机变量的,这种描述虽然详尽,但却不能“集中”地反 映出随机变量的变化情况和某些特征。例如有两个射手甲和乙 中环数8910 甲的概率0.30.10.6 乙的概率0.20.503 谁的成绩好呢?这恐怕难以一眼看出来,因此我们需要有更清楚直观地描述随机变量特征的方 法。这些用来描述随机变量的概率分布特征的数字称为总体特征数,主要包括数学期望,方差 和各阶矩。 数学期望 象上面的例题,实际是要求谁平均起来打中的环数高,设他们各打N枪,则甲乙的平均环数 分别为 甲:8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=93N 乙:8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N 因此甲的成绩好一些 定义:设X为一离散型随机变量,它取值为x1,x2,x3…,对应的概率为p,p2,p3…,若级数 ∑x,P,绝对收敛,则把它的极限称为X的数学期望或均值,记为EX 之,若∑xP不绝对收敛,则说X的数学期望不存在 定义中要求级数∑xP绝对收敛,是因为各x取值可以有正有负。在数学上可以证明一个三、随机变量的独立性。 在第一章中，我们介绍了事件独立性的概念。利用事件的独立性我们常常可以大大简化有 关的计算。现在我们再来介绍一下随机变量的独立性。 定义：设F(x1, x2, …xn)为随机向量X= (X1, X2, …Xn)的联合分布函数，若对任意x1, x2, …xn，有： F(x1, x2, …xn)= F1(x1)·F2(x2) … Fn(xn) 则称随机变量X1, X2, …Xn互相独立。其中F1，F2，…Fn分别为X1, X2, …Xn的分布函数。 对于离散型随机变量，独立性定义等价于对任意一组可能取值x1, x2, …xn，有： P(X1=x1, X2=x2，… Xn=xn) = P1(X1=x1)·P2(X2=x2) … Pn(Xn =xn) 对于连续型随机变量，独立性定义等价于对一切x1, x2, …xn，有： f(x1, x2, …xn)= f1(x1)·f2(x2) … fn(xn) 其中f为随机向量的联合密度函数，f1，f2，…fn分别为各分量的密度函数。 可以证明，若随机变量X1, X2, …Xn互相独立，则从中任意取出的一个子集合Xi1, Xi2, …Xim， 也互相独立。它们的下标应满足：1≤i1<i2<…<im≤n。 从随机变量独立性的定义可知，它与事件独立性的定义是非常相似的。事件独立性是说交 事件的概率等于事件概率的乘积，而随机变量独立是说联合分布函数可写成一串边际分布的乘 积。因此只有在独立的情况下联合分布函数才会被边际分布函数所唯一确定。回想例2.3摸球的 例子，由于有放回摸球各次结果是独立的，因此从它所构造出来的随机变量也是独立的；而无 放回摸球前一次结果对第二次摸球有影响，它们不是独立的，因此从不放回摸球构造出的随机 变量也不是独立的。随机变量的独立性是一个很重要的概念，我们以后要学习的各种统计方法 基本上都是只能用于互相独立的随机变量。一般来说随机变量的独立性都是靠专业知识来保证， 而不是验证它们的分布函数是否可写成乘积的形式。这一点与事件组的独立性也是十分相似的。 §2.5 随机变量的数字特征 以前我们都是用概率分布来描述随机变量的，这种描述虽然详尽，但却不能“集中”地反 映出随机变量的变化情况和某些特征。例如有两个射手甲和乙： 击中环数 8 9 10 甲的概率 0.3 0.1 0.6 乙的概率 0.2 0.5 0.3 谁的成绩好呢？这恐怕难以一眼看出来，因此我们需要有更清楚直观地描述随机变量特征的方 法。这些用来描述随机变量的概率分布特征的数字称为总体特征数，主要包括数学期望，方差 和各阶矩。 一、数学期望 象上面的例题，实际是要求谁平均起来打中的环数高，设他们各打N枪，则甲乙的平均环数 分别为： 甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N 乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N 因此甲的成绩好一些。 定义：设X为一离散型随机变量，它取值为x1, x2, x3 …，对应的概率为p1, p2, p3 …，若级数   i=1 i pi x 绝对收敛，则把它的极限称为X的数学期望或均值，记为E(X)。 反之，若   i=1 i pi x 不绝对收敛，则说X的数学期望不存在。 定义中要求级数   i=1 i pi x 绝对收敛，是因为各xi取值可以有正有负。在数学上可以证明一个