·492 智能系统学报 第9卷 有较高要求[34] …,n)。若允许的最小和最大投资金额分别为C,和 为了避免繁琐的数学规划求解，已有许多学者 C2,则投资金额C∈[C,C2]。证券通常是以最小交 应用智能算法求解证券组合优化问题。张伟等) 易量“手”为基本单位买人和卖出的，设1手=Z股 应用二进制编码遗传算法(genetic algorithm,GA) (Z∈Z)。若证券s,的现时报价为p:元/股，交易量 求解该问题，具有简洁、直观的优势，但效率不够高： 为x:手(x:∈N),其投资组合向量为x= 何洋林等[2]应用整数编码自适应遗传算法(adaptive [x12…x「，则总投资金额为 GA,AGA)求解该问题，提高了求解效率：Soleimani 等)应用GA求解含最大、最小交易量约束的投资 C(x)=Z∑xP,。于是证券s,的投资比例为凸：= 组合优化模型；夏梦雨等)则应用粒子群算法(par ZxP/C(x),投资组合x的资金权重向量为u= ticle swarm optimization,PSO)求解该问题；刘晓峰 [414…]T。 等[)应用PS0求解允许卖空证券投资和不允许卖 通常假设交易费用函数是投资金额的固定比例 空证券投资2种情形下的优化模型：刘衍民等应 用具有约束处理机制的PS0求解自融资投资组合 函数，即总交易费用为 h,o1,其中a= 优化模型：李磊等应用2种版本的文化算法(cl tural algorithm,CA)求解此模型：江家宝等[]以最大 [o.1ho.2…o.】T为投资者拥有的初始资金 化个人经济效益或最大化周期结束时个人财富为目 权重向量，专：为证券s,交易费用占交易金额的固定 标，建立多阶段投资组合优化模型，再应用差分进化 比例。目前，我国证券市场的交易费用由印花税和 佣金组成（基本忽略过户费等其他费用），设印花 算法(differential evolution,DE)求解该问题。最近， 有学者应用混合智能算法求解这类问题。李国成 税、佣金占交易金额的比例分别为专：和专：。但佣 等[]提出基于混沌搜索、PS0和引力搜索算法的混 金有最低额度要求，设最低为c:元，则证券s,的佣 合元启发式搜索算法，并应用该算法求解基数约束 金为max Cmin,专2：ZxP:}元。当o=0时，投资组合 投资组合问题；Lwin等1o提出融合种群增量学习和 x的预期净收益率为 DE的混合算法，再应用此方法求解约束投资组合 ∑max{cain,5xZxP 模型。近年来，还有学者应用多目标进化算法(mul- f八x)= tiobjective evolutionary algorithm,MOEA))求解投 C(x) 资组合优化问题。比如，Branke等[应用基于包络 (1) 的MOEA求解组合投资问题的Pareto最优解。 投资组合x的风险为 由于人工蜂群算法(artificial bee colony algo- g(x）= (2) ithm,ABC)[B-1s具有良好的寻优性能，近年来受到 广泛关注，故本文探索应用ABC算法求解证券组合 投资者期望收益率高且风险小，因此，计入交易 优化问题。在引入约束优化问题可行性规则的基础 费用的加权优化模型为 上，提出面向证券组合优化问题的可行性规则人工蜂 max F(x)=wf(x)-(1-w)g(x) (3) 群算法(ABC algorithm with the feasibility rule, s.t. g1(x)=C,-Z∑xP,≤0 (4) FRABC)。文中分析了FRABC算法的计算复杂度和 全局收敛性。最后，给出数值实例，通过分析可知： g2(x)=Z∑P,-C2≤0 (5) FRABC算法的全局最优解好于AGA。同时，还与 GA,PSO算法和基本ABC算法(basic ABC algorithm, 式中：x,为整数，0≤x,≤x:,i=1,2,…,n;0∈[0， BABC)进行对比实验，测试结果表明，FRABC算法具 1],为投资者的风险偏好因子。心的取值越大，表示 有良好稳健性，且性能指标优于4种对比算法。 投资者敢于承担的风险越高：反之，表示投资者敢于 承担的风险越小，其投资趋于保守。x:为允许投资 1 投资组合优化数学模型 证券s的最大手数。 文献[3]提出了基于我国证券市场现状的含交 易费用的改进资产分配优化模型，简要描述如下。 2约束优化的人工蜂群算法 设投资者可购买的证券集合为{s1,s2,…,s}, 2.1二级标题约束优化的可行性规则 其中n为证券种数；证券s:(i=1,2,…,n)的收益率 对于最大化问题式(3)，具有总投资金额区间 为r(随机变量)，其期望收益率为R:=E(:),0 约束条件式(4)和式(5)，属于约束优化问题，其求 cov(r,)为随机变量：和，的协方差(i,j=1,2, 解难点在于如何处理约束条件6。本文采用可行有较高要求咱猿鄄源暂 遥 为了避免繁琐的数学规划求解袁已有许多学者 应用智能算法求解证券组合优化问题遥 张伟等咱员暂 应用二进制编码遗传算法渊 早藻灶藻贼蚤糟 葬造早燥则蚤贼澡皂袁 郧粤冤 求解该问题袁具有简洁尧直观的优势袁但效率不够高曰 何洋林等咱圆暂应用整数编码自适应遗传算法渊 葬凿葬责贼蚤增藻 郧粤袁 粤郧粤冤求解该问题袁提高了求解效率曰杂燥造藻蚤皂葬灶蚤 等咱猿暂应用 郧粤 求解含最大尧最小交易量约束的投资 组合优化模型曰夏梦雨等咱源暂 则应用粒子群算法渊 责葬则鄄 贼蚤糟造藻 泽憎葬则皂 燥责贼蚤皂蚤扎葬贼蚤燥灶袁 孕杂韵冤 求解该问题曰刘晓峰 等咱缘暂 应用 孕杂韵 求解允许卖空证券投资和不允许卖 空证券投资 圆 种情形下的优化模型曰刘衍民等咱远暂 应 用具有约束处理机制的 孕杂韵 求解自融资投资组合 优化模型曰李磊等咱苑暂应用 圆 种版本的文化算法渊 糟怎造鄄 贼怎则葬造 葬造早燥则蚤贼澡皂袁 悦粤冤求解此模型曰江家宝等咱愿暂以最大 化个人经济效益或最大化周期结束时个人财富为目 标袁建立多阶段投资组合优化模型袁再应用差分进化 算法渊 凿蚤枣枣藻则藻灶贼蚤葬造 藻增燥造怎贼蚤燥灶袁 阅耘冤求解该问题遥 最近袁 有学者应用混合智能算法求解这类问题遥 李国成 等咱怨暂提出基于混沌搜索尧孕杂韵 和引力搜索算法的混 合元启发式搜索算法袁并应用该算法求解基数约束 投资组合问题曰蕴憎蚤灶 等咱员园暂提出融合种群增量学习和 阅耘 的混合算法袁再应用此方法求解约束投资组合 模型遥 近年来袁还有学者应用多目标进化算法渊 皂怎造鄄 贼蚤燥遭躁藻糟贼蚤增藻 藻增燥造怎贼蚤燥灶葬则赠 葬造早燥则蚤贼澡皂袁 酝韵耘粤冤咱员员暂 求解投 资组合优化问题遥 比如袁月则葬灶噪藻 等咱员圆暂应用基于包络 的 酝韵耘粤 求解组合投资问题的 孕葬则藻贼燥 最优解遥 由于人工蜂群算法渊 葬则贼蚤枣蚤糟蚤葬造 遭藻藻 糟燥造燥灶赠 葬造早燥鄄 则蚤贼澡皂袁 粤月悦冤咱员猿鄄员缘暂具有良好的寻优性能袁近年来受到 广泛关注袁故本文探索应用 粤月悦 算法求解证券组合 优化问题遥 在引入约束优化问题可行性规则的基础 上袁提出面向证券组合优化问题的可行性规则人工蜂 群算法 渊 粤月悦 葬造早燥则蚤贼澡皂 憎蚤贼澡 贼澡藻 枣藻葬泽蚤遭蚤造蚤贼赠 则怎造藻袁 云砸粤月悦冤遥 文中分析了 云砸粤月悦 算法的计算复杂度和 全局收敛性遥 最后袁给出数值实例袁通过分析可知院 云砸粤月悦 算法的全局最优解好于 粤郧粤遥 同时袁还与 郧粤尧孕杂韵 算法和基本 粤月悦 算法渊遭葬泽蚤糟 粤月悦 葬造早燥则蚤贼澡皂袁 月粤月悦冤进行对比实验袁测试结果表明袁云砸粤月悦 算法具 有良好稳健性袁且性能指标优于 源 种对比算法遥 员摇 投资组合优化数学模型 摇 摇 文献咱猿暂提出了基于我国证券市场现状的含交 易费用的改进资产分配优化模型袁简要描述如下遥 设投资者可购买的证券集合为喳 泽员 袁泽圆 袁噎袁泽灶 札 袁 其中 灶 为证券种数曰证券 泽蚤 渊蚤 越 员袁圆袁噎袁灶冤的收益率 为 则蚤 渊随机变量冤 袁其期望收益率为 砸蚤 越 耘渊则蚤冤 袁滓蚤躁 越 糟燥增渊则蚤袁则躁 冤 为随机变量 则蚤 和 则躁的协方差渊 蚤袁 躁 越 员袁圆袁 噎袁灶冤 遥 若允许的最小和最大投资金额分别为 悦员和 悦圆 袁则投资金额 悦 咱悦员 袁悦圆 暂 遥 证券通常是以最小交 易量野手冶为基本单位买入和卖出的袁设 员 手 越 在 股 渊在 在垣 冤 遥 若证券 泽蚤的现时报价为 责蚤元辕 股袁交易量 为 曾蚤 手 渊 曾蚤  晕 冤 袁 其投资组合向量为 曾 越   曾员 曾圆 噎 曾灶 栽 袁 则总投资金额为 悦渊曾冤越 在移 灶 蚤 越 员 曾蚤责蚤 遥 于是证券 泽蚤 的投资比例为 滋蚤 越 在曾蚤责蚤 辕 悦 渊 曾冤 袁投资组合 曾 的资金权重向量为 滋 越   滋员 滋圆 噎 滋灶 栽 遥 通常假设交易费用函数是投资金额的固定比例 函数袁即总交易费用为 移 灶 蚤 越 员 孜蚤 渣 滋蚤 原 滋园袁蚤 渣 袁其中 滋园 越   滋园袁 员 滋园袁 圆 噎 滋园袁 灶 栽 为投资者拥有的初始资金 权重向量袁孜蚤为证券 泽蚤交易费用占交易金额的固定 比例遥 目前袁我国证券市场的交易费用由印花税和 佣金组成渊基本忽略过户费等其他费用冤 袁设印花 税尧佣金占交易金额的比例分别为 孜员 蚤和 孜圆 蚤遥 但佣 金有最低额度要求袁设最低为 糟皂蚤灶 蚤元袁则证券 泽蚤的佣 金为 皂葬曾喳糟皂蚤灶 蚤袁 孜圆 蚤在曾蚤责蚤札元遥 当 滋园 越 园 时袁投资组合 曾 的预期净收益率为 枣渊曾冤 越 移 灶 蚤 越 员 砸蚤滋蚤 原 移 灶 蚤 越 员 孜员蚤滋蚤 原 移 灶 蚤 越 员 皂葬曾喳糟皂蚤灶 蚤袁孜圆蚤在曾蚤责蚤札 悦渊曾冤 渊员冤 摇 摇 投资组合 曾 的风险为 早渊曾冤 越 移 灶 蚤 越 员 移 灶 躁 越 员 滓蚤躁滋蚤滋躁 渊圆冤 摇 摇 投资者期望收益率高且风险小袁因此袁计入交易 费用的加权优化模型为 皂葬曾 云渊曾冤 越 憎枣渊曾冤 原 渊员 原 憎冤早渊曾冤 渊猿冤 泽援贼援摇 早员渊曾冤 越 悦员 原 在移 灶 蚤 越 员 曾蚤责蚤 臆 园 渊源冤 早圆渊曾冤 越 在移 灶 蚤 越 员 曾蚤责蚤 原 悦圆 臆 园 渊缘冤 式中院曾蚤为整数袁园臆曾蚤 臆 曾 原 蚤 袁蚤 越 员袁圆袁噎袁灶曰憎 咱 园袁 员暂袁为投资者的风险偏好因子遥 憎 的取值越大袁表示 投资者敢于承担的风险越高曰反之袁表示投资者敢于 承担的风险越小袁其投资趋于保守遥 曾 原 蚤 为允许投资 证券 泽蚤的最大手数遥 圆摇 约束优化的人工蜂群算法 圆援员摇 二级标题约束优化的可行性规则 摇 摇 对于最大化问题式渊猿冤袁具有总投资金额区间 约束条件式渊源冤和式渊缘冤袁属于约束优化问题袁其求 解难点在于如何处理约束条件咱远暂 遥 本文采用可行 窑源怨圆窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 怨 卷