8z06a.nb 如何确定解?把上式代入微分方程,求得各系数ck之间的关系。 为此,上式求导,可得:(把出现在微分方程的每一项均化为bx形式,以便比较系数) y=Sk-1)a*2=Sk+1)k+2)2x,xy"=5k-1)ax 各项均以∑hx的形式出现,代入微分方程 (k+1)(k+2)ck+2-k(k-1)ck-2kck+l+1)ck]x=0 据 Taylor展开的唯一性知各幂次系数为0 (k+1)(k+2)ck+2-[k(k+1)-l+1)ck=0 从而得到系数之间的递推关系 (k+1)(k+2) 利用这个递推关系,可得: (2n-1-2)(2n+l-1) (2n-1-2)(2n+1-1)(2n-1-4)( C2n-4 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3) D(2n-2+7+1)(2n-4+7+ )(l+1 c0,其中(a)n为 Pochhammer符号,可表为r函数:(a)n r(a+ n) a4计 (2n)! r(a) +1c1,与c2n类似地推导 l)! 所有的偶次幂项均由c0确定,奇次幂项由c1确定, Legendre方程的通解为 y(x)=coo(x)+cy1(x,其中yo(x)只含偶次幂项,y(x)只含奇次幂项。 (x)= x2k, yI(x) (2k)!(2 f(2k+1)!(2k(2 所以, Legendre方程(1.23)有两个线性无关的解,一个是奇次幂级数,一个是偶次幂级数 对于一般的l,级数无法化简为初等函数形式,也就是说, Legendre方程的解是 Legendre函数(特殊函数) 由于 Legendre方程(123)是线性齐次微分方程,y(x)是解,任意常数与y(x)的乘积,依然是解 (1-x2)D[Y[x],{x,2] Y【x],x]+n(n+1)y[x] DSolve[eq =0, y[x], x] (Y[,C[l LegendreP[n, x]+C[2] Legendre[n, x])) 更多关于 Legendre方程的解的性质,将在后面的章节讨论。本章的内容主要是:微分方程的级数解法( Frobenius解法)。如何确定解？把上式代入微分方程，求得各系数 ck 之间的关系。 为此，上式求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为  k=0 ∞ bk xk 形式，以便比较系数 ） y′ =  k=0 ∞ k ck xk-1, x y′ = k=0 ∞ k ck xk y″ =  k=0 ∞ k(k - 1) ck xk-2 =  k=0 ∞ (k + 1) (k + 2) ck+2 xk, x2 y″ =  k=0 ∞ k (k - 1) ck xk 各项均以  k=0 ∞ bk xk 的形式出现 ，代入微分方程 ：  k=0 ∞ [(k + 1) (k + 2) ck+2 - k(k - 1) ck - 2 k ck + l(l + 1) ck] xk = 0 据 Taylor 展开的唯一性知各幂次系数为 0 (k + 1) (k + 2) ck+2 - [k(k + 1) - l(l + 1)] ck = 0 从而得到系数之间的递推关系 ck+2 = k(k + 1) - l(l + 1) (k + 1) (k + 2) ck = (k - l) (k + l + 1) (k + 1) (k + 2) ck 利用这个递推关系，可得： c2 n = (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) 2 n (2 n - 1) c2 n-2 = (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) (2 n - l - 4) (2 n + l - 3) 2 n (2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) c2 n-4 = (2 n - 2 - l) (2 n - 4 - l) ⋯(-l) 总共有n项相乘 (2 n - 2 + l + 1) (2 n - 4 + l + 1) ⋯(l + 1) 总共有n 项相乘 (2 n) ! c0 c2 n = 22 n (2 n) ! - l 2 n l + 1 2 n c0, 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，可表为 Γ 函数： (a)n = Γ(a + n) Γ(a) = a(a + 1) ... ( 从a 开始， c2 n+1 = 22 n (2 n + 1)! - l - 1 2 n l 2 + 1 n c1, 与 c2 n 类似地推导 所有的偶次幂项均由 c0 确定，奇次幂项由 c1 确定，Legendre 方程的通解 为： y(x) = c0 y0(x) + c1 y1(x), 其中 y0(x) 只含偶次幂项 ， y1(x) 只含奇次幂项 。 y0(x) =  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) =  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 所以，Legendre 方程 (1.23) 有两个线性无关的解，一个是奇次幂级数，一个是偶次幂级数。 对于一般的 l，级数无法化简为初等函数形式，也就是说，Legendre 方程的解是Legendre 函数（特殊函数）。 由于Legendre 方程 (1.23) 是线性齐次微分方程， y0(x) 是解，任意常数与y0(x) 的乘积，依然是解。 eq = (1 - x2) D[y[x], {x, 2}] - 2 x D[y[x], x] + n (n + 1) y[x]; DSolve[eq  0, y[x], x] {{y[x]  C[1] LegendreP[n, x] + C[2] LegendreQ[n, x]}} 更多关于Legendre 方程的解的性质，将在后面的章节讨论。本章的内容主要是：微分方程的级数解法（ Frobenius 解法）。 8 z06a.nb