z06a.nb 9 64方程正则奇点邻域的级数解 9 Bessel方程的解 求以下 Bessel方程在x=0邻域的解,v为已知常数 (x2-2) (1.24) 显然:x=0是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs定理,正则奇点邻域必定存在一个如下形式的解 1()=xSx,其中:c0*0,在x=0点的邻域|>0 比之于常点,求解过程多了一步:要推导并求解指标方程,若需要求解第二个解,还要看指标方程是否重根等等 先求指标方程。形式解求导,可得:(把出现在微分方程的每一项均化为Sb2x形式) y=Eo+p)ckrtp-l, xy=a+p)cka+ y=)(k+p)(k+p-1)cx-2,x2y=)(k+p)(k+p-1)cx+p 化为∑4形式 代入微分方程 ∑+p休+p-1)++p)-12]*+∑2x=0 (1.25 由最低幂次x(对应于k=0)的系数为0导出指标方程 再由x+1项(对应于k=1项)的系数为0,导出 V+1)2-y2]-1=0利用标程 (2p+1c=0若p+-12 最后,由k≥2项的系数为0,得递推关系 利用指标方程、ck= k(k+2 p) (1.26 故对于p=v,取c1=0,故 22n(n+v) 24n(n+v)(n-1)(+v-1 (-1y c0,其中(a)n为 Pochhammer符号,(a)h 22nn!(v+1)n r(a) C1=0 22n(3/2)n(+3/2)n 从而, Bessel方程有 n()=0x- 台k!(r+1) =c0x户(-1) k!r(k++1) 取6.4 方程正则奇点邻域的级数解  Beseel 方程的解 求以下 Bessel 方程在 x = 0 邻域的解，v 为已知常数 x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0， p(x) = 1 x , q(x) = x2 - v2 x2 (1.24) 显然：x = 0 是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs 定理，正则奇点邻域 必定存在一个如下形式的解 y(x) = xρ  k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x > 0 比之于常点，求解过程多了一步：要推导并求解指标方程，若需要求解第二个解，还要看指标方程是否重根等等。 先求指标方程 。形式解求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为  k ∞ bk xk+ρ 形式） y′ =  k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ-1, x y′ =  k=0 ∞ (k + ρ) ck xk+ρ y″ =  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ-2, x2 y″ = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ x2 y = xρ+2  k=0 ∞ ck xk =  k=0 ∞ ck xk+ρ+2 化为 ∑ k ∞ bk xk+ρ 形式  k=2 ∞ ck-2 xk+ρ 代入微分方程：  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) +(k + ρ) - v2  ck xk+ρ + k=2 ∞ ck-2 xk+ρ = 0 (1.25) 由最低幂次 xρ（对应于 k = 0）的系数为 0 导出指标方程 ρ2 - v2 c0 = 0 c0≠0 ρ2 - v2 = 0 ⟹ ρ1 = v, ρ2 = -v 再由 xρ+1项（对应于 k = 1 项）的系数为 0，导出 (ρ + 1)2 - v2 c1 = 0 利用指标方程 (2 ρ + 1) c1 = 0 若ρ ≠ -1/2 c1 = 0 最后，由 k ≥ 2 项的系数为 0，得递推关系 ck = - ck-2 (k + ρ)2 - v2 利用指标方程 ck = - 1 k(k + 2 ρ) ck-2 (1.26) 故对于 ρ = v，取 c1 = 0，故 c2 n = - 1 22 1 n(n + v) c2 n-2 = (-1) 2 1 24 1 n(n + v) 1 (n - 1) (n + v - 1) c2 n-4 = (-1) n 1 22 n 1 n! 1 (v + 1)n c0, 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，(a)n = Γ(a + n) Γ(a) c2 n+1 = (-1) n 1 22 n 1 (3/ 2)n 1 (v + 3/ 2)n c1 = 0 从而，Bessel 方程有解： y1(x) = c0 xv  k=0 ∞ (-1)k k ! (v + 1)k x 2 2 k = c0 xv  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(v + 1) Γ(k + v + 1) x 2 2 k 取 c0 = 1 2v Γ(v + 1) ，则 z06a.nb 9