10 z06anb ≡J(x) Bessel函数 台k!r(k++1) (1.27) 对于P=-,仍取c1=0,同时取c0=2I(-+1) 则第二个解为: (-1) ≡-,(x) Ed k!(-r+I)k k!r(k-y+1) (1.28) 那么,我们是否求得了Bss方程的两个线性独立解:y1(x)与yx)?还有三个问题: 1.求解过程分别对指标P=土y时取c022I(土+ ,若co=0,是否对应于平庸解?(即0解) 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以co 2.讨论中,我们总是取c1=0。实际上仅当指标ρ≠-1/2时才保证c1=0,讨论中总是取c1=0是否会导致“漏掉”一个解 当然在求得两个线性独立解时,不可能漏解,但若求得的两个解线性相关,是否是因为取c1=0导致的漏解? 3.最重要的,这两个解是否线性无关?因为对正则奇点, Frobenius and Fuchs定理只保证能求得一个解, 并不能保证求出的两个解线性无关。实际上,当p2-p1为整数时,两个解很可能是线性相关的 先回答第一个问题,c0=-1 2tr(±y+1) 0是否对应于平庸解?(对线性齐次微分方程,零是方程的平庸解。) 因为指标解以±v形式成对出现,不失一般性,可假设Rev>0 当ν为正整数p>0时, Gamma函数的宗量可能为负整数或0,co=0,是否对应于平庸解?非也! 看p=-=-p时系数之间的递推关系(126),设k>p并令k-p=m,从而:p=k-m 24k(k-1)(k-p)(k-p-1) =(-1)m 2mk(k-1)…(k-m+1)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1) 22(m+)k(k-1)…(k-m+1)(k-m)x(k-p)(k-p-1)…(k-p-m+1)k 上式最后一行的分母为0,表明递推至cp为止,c2(-1)=c2(-2)=…=C0=0,这样求和就不能从k=0项开始。 即:当v等于正整数p时,对应于p=-v的级数解的写法就复杂了,求和必须从k=p而非从k=0项开始 为规避这个复杂性,利用 Gamma函数,并令co= 把对应于p=-y的级数解之系数c2k写成 2-"I(y+1) 记得p=-y 22kk!T(k-+1) (-1)4-1 C2k-2 2k2k+2p)22-)(k-1)!I(k-v)2k(2k+2p) 此式(紫色表达式)满足系数之间的递推关系(1.26),同时 此式还自动保证在v等于正整数p时,c2(21)=c2(-2)=…=co=0,从而求和仍可从k=0项开始。 ■再回答第二个问题,当指标方程给出的解是P-2’°可以不为0,取C1=0是否会导致"漏掉解 对Bs方程,当有一个指标为-时,另一个指标必为+1,两个解(27)和(128)分别退化为 (-1) k!rk+y1(x) =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ≡ Jv(x) Bessel 函数 (1.27) 对于 ρ = -v，仍取 c1 = 0，同时取 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，则第二个解为： y2(x) = c0 x-v  k=0 ∞ (-1)k k ! (-v + 1)k x 2 2 k =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v ≡ J-v(x) (1.28) 那么，我们是否求得了 Bessel 方程的两个线性独立解：y1(x) 与 y2(x) ？还有三个问题： 1. 求解过程分别对指标 ρ = ±v 时取 c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) ，若 c0 = 0，是否对应于平庸解? （即 0 解） 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以 c0 2. 讨论中，我们总是取 c1 = 0。实际上仅当指标 ρ ≠ -1/ 2 时才保证 c1 = 0，讨论中总是取 c1 = 0 是否会导致“漏掉”一个解。 当然在求得两个线性独立解时 ，不可能漏解 ，但若求得的两个解线性相关 ，是否是因为取 c1 = 0 导致的漏解 ？ 3. 最重要的，这两个解是否线性无关？因为对正则奇点，Frobenius and Fuchs 定理只保证能求得一个解， 并不能保证求出的两个解线性无关 。实际上，当 ρ2 - ρ1 为整数时 ，两个解很可能是线性相关的 。 ◼ 先回答第一个问题， c0 = 1 2±v Γ(±v + 1) = 0 是否对应于平庸解？（对线性齐次微分方程，零是方程的平庸解。） 因为指标解以 ± v 形式成对出现 ，不失一般性 ，可假设 Re v > 0。 当 v 为正整数 p > 0 时，Gamma 函数的宗量可能为负整数或 0，c0 = 0，是否对应于平庸解 ？非也！ 看 ρ = -v = -p 时 系数之间的递推关系 (1.26)，设 k > p 并令 k - p = m，从而：p = k - m c2 k = - 1 22 1 k(k - p) c2 (k-1) = (-1)2 1 24 c2 (k-2) k(k - 1) (k - p) (k - p - 1) = (-1)m 1 22 m c2 (k-m) c2 p k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) 此项等于1 = (-1)m+1 1 22 (m+1) c2 (p-1) k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - m)(k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) (k - p - m) 此项等于0 上式最后一行的分母为 0，表明递推至 c2 p 为止，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，这样求和就不能从 k = 0 项开始。 即：当 v 等于正整数 p 时，对应于ρ = -v 的级数解的写法就复杂了 ，求和必须从 k = p 而非从 k = 0 项开始。 为规避这个复杂性 ，利用 Gamma 函数，并令 c0 = 1 2-v Γ(-v + 1) ，把对应于ρ = -v 的级数解之系数 c2 k 写成 c2 k = (-1)k 22 k k ! Γ(k - v + 1) 记得 ρ = -ν = - 1 2 k(2 k + 2 ρ) (-1)k-1 22 (k-1) (k - 1)! Γ(k - v) = - c2 k-2 2 k(2 k + 2 ρ) 此式 （紫色表达式 ） 满足系数之间的递推关系 (1.26)，同时 此式还自动保证在 v 等于正整数 p 时，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，从而求和仍可从 k = 0 项开始。 ◼ 再回答第二个问题，当指标方程给出的解是 ρ = - 1 2 时，c1可以不为 0，取 c1 = 0 是否会导致”漏掉”解 对 Bessel 方程，当有一个指标为 - 1 2 时，另一个指标必为 + 1 2 ，两个解 (1.27) 和 (1.28) 分别退化为 y1(x) =  k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 3 2 x 2 2 k+1/2 , y2(x) = k=0 ∞ (-1) k k ! Γ k + 1 2 x 2 2 k-1/2 10 z06a.nb