z06a.nb11 y(x)的最低幂次项为:xl2;y2(x)的最低幂次项为:x-l2,二者之比显然不会是常数,线性无关 因为二阶微分方程只有两个线性无关解(见下一节的证明), 所以,在p=-1/2时,即使取C≠0,求出的解也必然是y(x)和y2x)的线性组合, 也就是说,讨论中在ρ=-1/2时,也取c1=0,并没有漏掉线性无关解。 有兴趣的同学不妨试试在p=-时,取1≠0,看看求出的解是否能表为y()和2(0的线性组合 ■现在我们来讨论最后一个问题,两个解(1.27)和(1.28)是否线性无关 实际上,由§62的讨论可知,当两个指标之差p1-P2=2y不为整数时,两个解必然线性无关 对 Bessel方程,只要v不为整数,由以下两式的最低幂次项可知 ()=(-1 k”和J-()=(-1)(x12 Edk!r(k+v+1) 台k!r(k-y+1) 也是线性无关的。但是,当v=n为整数时 n(x)= adm!r(m+n+1)(2)= J-n(x),利用了m<0时,rm) 由第三章:J(x)=(-1)"Jn(x),故y2(x)与y1(x)线性相关 由562的讨论,另一个解可以为含有对数项的(12)形式:y()=柳y()hx+y2∑式,b≠0 那么是否需要将含对数项的(1.21)形式解代入微分方程,确定各系数bk间的关系以求得第二个线性无关解? 太麻烦了,假道伐虢。 Q寻求第二个(线性无关)解 对正则奇点,无论指标方程的解如何,据 Frobenius and fuchs定理,总有一个解是可以确定的,就是如下形式 x)=x>x,其中:co≠0 至于另一个线性无关解,当两个指标只差为整数时, Frobenius and fuchs定理告诉我们,解可能含有含对数项,显然不易直接代入微分方程求解系数 据常微分方程理论,对二阶线性齐次常微分方程,最多只有两个线性无关解,并且可以从一个解求出另一个线性无关解 1.二阶线性齐次常微分方程最多只有两个线性无关解 这个性质可以用反证法证明。假设二阶线性齐次常微分方程有3个不同的解,证明这三个解必线性相关。 设y,y2,y3为如下微分方程的解 y+pur)y+g(x)y=0= 王意两个解的 Wronskian行列式为 Wiy=yy-yy wi=oyr-yy=yy -y/y 由于y与y是微分方程的解,故 M+pr= -gx)=y+p(=wy-yix +plr)(y-yX)=0 整理上两个等式,得到 Wronskian行列式W满足的微分方程y1(x) 的最低幂次项为 ：x1/2；y2(x) 的最低幂次项为 ：x-1/2，二者之比显然不会是常数 ，线性无关 。 因为二阶微分方程只有两个线性无关解 （见下一节的证明 ）， 所以，在 ρ = -1/ 2 时，即使取 c1 ≠ 0，求出的解也必然是 y1(x) 和 y2(x) 的线性组合 ， 也就是说 ，讨论中在 ρ = -1 /2 时，也取 c1 = 0，并没有漏掉线性无关解 。 有兴趣的同学不妨试试在 ρ = - 1 2 时，取 c1 ≠ 0，看看求出的解是否能表为 y1(x) 和 y2(x) 的线性组合 。 ◼ 现在我们来讨论最后一个问题，两个解 (1.27) 和 (1.28) 是否线性无关。 实际上，由 §6 .2 的讨论可知 ，当两个指标之差 ρ1 - ρ2 = 2 v 不为整数时 ，两个解必然线性无关 。 对 Bessel 方程，只要 v 不为整数 ，由以下两式的最低幂次项可知 Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 和 J-v(x) =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v 也是线性无关的 。但是，当 v = n 为整数时 y1(x) =  m=0 ∞ (-1)m m! Γ(m + n + 1) x 2 2 m+n =  m=0 ∞ (-1) m m! (m + n)! x 2 n+2 m = Jn (x) y2(x) =  k=0 ∞ (-1)m m! Γ(m - n + 1) x 2 2 m-n =  m=n ∞ (-1)m m! (m - n)! x 2 2 m-n = J-n (x) , 利用了 m < 0 时， 1 Γ(m) = 0 由 第三章：J-n(x) = (-1)n Jn(x) ，故 y2(x) 与 y1(x) 线性相关 。 由 §6 .2 的讨论，另一个解可以为含有对数项的 (1.21) 形式：y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2  k=0 ∞ bk xk，b0 ≠ 0。 那么是否需要将含对数项的 (1.21) 形式解代入微分方程 ，确定各系数 bk 间的关系以求得第二个线性无关解 ？ 太麻烦了 ，假道伐虢 。  寻求第二个（线性无关）解 对正则奇点，无论指标方程的解如何，据 Frobenius and Fuchs 定理，总有一个解是可以确定的，就是如下形式： y(x) = xρ  k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0， 至于另一个线性无关解，当两个指标只差为整数时， Frobenius and Fuchs 定理告诉我们，解可能含有含对数项，显然不易直接代入微分方程求解系数。 据常微分方程理论，对二阶线性齐次常微分方程，最多只有两个线性无关解，并且可以从一个解求出另一个线性无关解。 1. 二阶线性齐次常微分方程最多只有两个线性无关解 这个性质可以用反证法证明。假设二阶线性齐次常微分方程有 3 个不同的解，证明这三个解必线性相关。 设 y1, y2, y3 为如下微分方程的解 y″ + p(x) y′ + q(x) y = 0 ⟹ y″ y + p(x) y′ y = -q(x) 任意两个解的Wronskian行列式为 Wi j = yi y j ′ - yj yi ′ ⟹ Wi j ′ = (yi y j ′ - y j yi ′ ) ′ = yi y j ″ - y j yi ″ 由于 yi 与 y j 是微分方程的解，故 yi ″ yi + p(x) yi ′ yi = -q(x) = y j ″ yj + p(x) y j ′ y j ⟹ yi y j ″ - y j yi ″ + p(x) (yi yj ′ - y j yi ′ ) = 0 整理上两个等式，得到Wronskian行列式 Wij 满足的微分方程 z06a.nb 11