12 z06anb p(x)4对任意一对解都成立 另一方面,三个解是否线性相关的判据是以下 Wronskian行列式是否为0 H=乃乃=-3+巧形3一的2,(其中行列式以第二行展开) 利用 Wronskian行列式W满足的微分方程并写成行列式形式 = p(x)U1 W23-33W13+y3 WiI )马均=0 ⅵ% 因此,若二阶线性齐次常微分方程有3个不同的解,这三个解必线性相关。 2.从一个解求出另一个线性无关解 从y(x)出发求y(x),看 Wronskian行列式W12满足的微分方程 H/2=-p(x)H2→21=-p(x)dx→W12=e-山 丫均=2=1=在 等式两边同时积分 这种求解方法在求解 Lengendre方程时会用到 但是,对 Bessel方程的解,依然太过麻烦 寻求 Bessel方程的第二个线性无关解 对 Bessel方程,我们总可以求出两个解 J(x)= ,J,()=S Ed k!r(k+v+I k!r(k-+1 (1.29) 只不过,当v=整数时,这两个解线性相关 直接求解(1.21)形式(含对数项的级数)的线性无关解较为复杂,通过上一小节利用 Wronskian行列式来求解也不方便。 我们看不上 Frobenius and fuchs,也抛弃 Wronskian行列式法 对 Bessel方程,还可以有第三种解法。为介绍之,先从 Wronskian行列式探讨这两个解何时线性相关 从 Wronskian行列式满足的微分方程出发 C W"=-p(x)W=- 其中利用了 Bessel程(1.24)中p(x) x2y"+xy+(r2-n2)y=0 另一方面,把级数(129)代入 Wronskian行列式,求x负一幂次的系数 W=W,/小J1=J- ((xP=y2-m/2(xP-1(2k+m/2(x“(-)(x k!r(k++1)(2)台r(-v+1) (-1)+(2l-)/2 x12k+2-1 (-1)+1(2k+v)/2 x12k+2}-1 仅k=l=0项对含x-1 k!r(k++1)/!r(-y+1)(2 k!r(k+y+1)!r(-y+1)(2Wij ′ = -p (x) Wij ，对任意一对解都成立 。 另一方面，三个解是否线性相关的判据是以下 Wronskian 行列式是否为 0 W = y1 y2 y3 y1 ′ y2 ′ y3 ′ y1 ″ y2 ″ y3 ″ = -y1 ′ W23 ′ + y2 ′ W13 ′ - y3 ′ W12 ′ ，（其中行列式以第二行展开 ） 利用Wronskian行列式 Wij 满足的微分方程并写成行列式形式 W = p(x) [y1 ′ W23 - y2 ′ W13 + y3 ′ W12] = -p(x) y1 y2 y3 y1 ′ y2 ′ y3 ′ y1 ′ y2 ′ y3 ′ = 0 因此，若二阶线性齐次常微分方程有 3 个不同的解，这三个解必线性相关。 2. 从一个解求出另一个线性无关解 从 y1(x) 出发求 y2(x)，看Wronskian行列式 W12 满足的微分方程 W12 ′ = -p(x) W12 ⟹ W12 W12 = -p(x) x ⟹ W12 = -∫ p(x) x 另一方面 y2 y1 ′ = y2 ′ y1 - y2 y1 ′ y1 2 = W12 y1 2 = -∫ p(x) x y1 2 ， 等式两边同时积分 ⟹ y2 = y1  -∫ p(x) x y1 2 x 这种求解方法在求解 Lengendre 方程时会用到。 但是，对 Bessel 方程的解，依然太过麻烦。  寻求Bessel方程的第二个线性无关解 对 Bessel 方程，我们总可以求出两个解 Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ， J-v(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v (1.29) 只不过，当 v = 整数 时，这两个解线性相关。 直接求解 (1.21) 形式（含对数项的级数）的线性无关解较为复杂，通过上一小节 利用 Wronskian 行列式来求解也不方便。 我们看不上 Frobenius and Fuchs，也抛弃 Wronskian 行列式法。 对 Bessel 方程，还可以有第三种解法。为介绍之，先从 Wronskian 行列式探讨这两个解何时线性相关。 从 Wronskian 行列式满足的微分方程出发： W′ = -p(x) W = - W x ⟹ W = C x ， 其中利用了 Bessel 方程 (1.24) 中 p(x) = 1 x ： x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 另一方面，把级数 (1.29) 代入 Wronskian 行列式，求 x 负一幂次的系数 W = W[Jv, J-v] =  Jv J-v Jv ′ J-v ′  = Jv J-v ′ - Jv ′ J-v =  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v  l=0 ∞ (-1)l (2 l - v) / 2 l! Γ(l - v + 1) x 2 2 l-v-1 -  k=0 ∞ (-1)k (2 k + v) / 2 k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v-1  l=0 ∞ (-1)l l! Γ(l - v + 1) x 2 2 l-v =  k=0 ∞  l=0 ∞ (-1) k+l (2 l - v) / 2 k ! Γ(k + v + 1) l! Γ(l - v + 1) x 2 2 k+2 l-1 -  k=0 ∞  l=0 ∞ (-1) k+l (2 k + v) /2 k ! Γ(k + v + 1) l! Γ(l - v + 1) x 2 2 k+2 l-1 仅 k = l = 0 项对含 x-1 12 z06a.nb