z06anb13 hx),其中hx)仅含x的正、奇幂次项 从而 =-- SIn wT(利用了r函数的互余宗量定理) T+1r(I-v) r(vr(I-v)T 原来,当v为整数时,W[,J-]=0,J与J线性相关 注意此线性相关来自 sIn vA因子,若取两个解为 y1(x)=J,y2(x)= 则Wv1,y2l 2 无论v是否整数,y与y都线性无关 snv丌 但,当v为整数时,y2分母为0,而分子不为0。因此,进一步改取(这里利用线性齐次方程解的叠加原理) nr)≈J(x)-J-1(x) ,这时仍有:WUv1,y2=,y与y依然线性无关 smn丌 引入参数c之后,我们有了个自由度,可通过调节c,使得当v为整数时,y2的分子也趋于0,但存在不恒为0的极限。 如何才能保证当v趋于整数时,分子也为0?当n为整数时:J(x)=(-1)Jn(x)=c=(-1)=cosn丌,从而选取 ()=2Px1()-1=N()称为Ncm函数或第二类Bes则l函数 这样既能保证y与y都线性无关,又保证v→n时,分子分母同时趋于0,可望用洛必达法则求其极限 以上定义的y2无论v是否整数,都是 Bessel方程的第二个线性无关解,并且对v→整数,分子分母同时趋于0 然而,分子分母同时趋于0并不意味着极限一定存在,因此还需用L' Hospital法则求v→整数时的极限 dI(cos vr)J,(x)-J_(x)l/d a,(x) Nu(x)= lim N(x)= lin (-1y2 d(sin vr/d 1 利用(1.29)式Bese函数的定义可求得(不失一般性,设整数n>0 04()=2(- 利用在对数函数的主值分枝kgd<m,有 dr deSk! r(k +v+1) k!r(k++1)(2 r(k+y+1) 其中 digamma函数(终于派上用处了)b(k+y+1)= r(k+y+1) 0J(x) =J,(x)In -f(iy Ed k!(k+n) +n+1果真出现(2)形式的对数项 类似地 aJ_,(x) a 利用在对数函数的主值分枝rgd<,有 0v台k!r(k-y+1)(2 r(k-y+1) +(k-+1其中(k-y+1) 台k!rik-r+1) I(k+v+1) (-1y(k-+1) =-_n(x)In -+lir 2如(+1)/4m,=1y,k”+1(xP2k _pr(x)In-+ -(l(r)In-+ u(+1) 2台(+n!= - 2 v Γ(v + 1) Γ(1 - v) x-1 + h(x), 其中 h(x) 仅含 x 的正、奇幂次项 从而 C = - 2 v Γ(v + 1) Γ(1 - v) = - 2 Γ(v) Γ(1 - v) = - 2 π sin v π （利用了 Γ 函数的互余宗量定理 ） ⟹ W = - 2 π x sin v π 原来，当 v 为整数时，W[Jv, J-v] = 0，Jv 与 J-v 线性相关。 注意此线性相关来自 sin v π 因子，若取两个解为 y1(x) = Jv，y2(x) = - J-v sin v π , 则 W[y1, y2] = 2 π x ⟹ 无论 v 是否整数 ，y1 与 y2 都线性无关 。 但，当 v 为整数时，y2 分母为 0，而分子不为 0。因此，进一步改取（这里利用线性齐次方程解的叠加原理） y2(x) = c Jv(x) - J-v(x) sin v π ，这时仍有 ：W[y1, y2] = 2 π x ， y1 与 y2 依然线性无关 引入参数 c 之后，我们有了个自由度，可通过调节 c，使得当 v 为整数时，y2 的分子也趋于 0，但存在不恒为 0 的极限。 如何才能保证当 v 趋于整数时，分子也为 0？当 n 为整数时： J-n(x) = (-1)n Jn(x) ⟹ c = (-1)n = cos n π，从而选取 y2(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π ≡ Nv(x) 称为 Neumann 函数或第二类 Bessel 函数 这样既能保证 y1 与 y2 都线性无关 ，又保证 v  n 时，分子分母同时趋于 0，可望用洛必达法则求其极限 。 以上定义的 y2无论 v 是否整数，都是 Bessel方程的第二个线性无关解，并且对 v  整数，分子分母同时趋于 0。 然而，分子分母同时趋于 0 并不意味着极限一定存在，因此还需用 L′Hospital 法则求 v  整数时的极限。 Nn(x) = lim vn Nv(x) = lim vn [(cos v π) Jv(x) - J-v(x)]/v (sin v π)/ v = 1 π lim vn ∂ Jv(x) ∂ v - (-1)n ∂ J-v(x) ∂ v 利用 (1.29) 式 Bessel 函数的定义可求得（不失一般性，设整数 n > 0） ∂ Jv(x) ∂ v = ∂ ∂ v  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 利用在对数函数的主值分枝 arg a < π，有 az z = az ln a = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ln x 2 - ψ(k + v + 1) , 其中digamma 函数 （终于派上用处了 ） ψ(k + v + 1) = Γ′ (k + v + 1) Γ(k + v + 1) lim vn ∂ Jv(x) ∂ v = Jn(x) ln x 2 - k=0 ∞ (-1)k k! (k + n)! ψ(k + n + 1) x 2 2 k+n 果真出现 (1.21) 形式的对数项 类似地 ∂ J-v(x) ∂ v = ∂ ∂ v  k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v 利用在对数函数的主值分枝 arg a < π，有 az z = az ln a = k=0 ∞ (-1) k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v -ln x 2 + ψ(k - v + 1) , 其中 ψ(k - v + 1) = Γ′ (k - v + 1) Γ(k + v + 1) lim vn ∂ J-v(x) ∂ v = -J-n(x) ln x 2 + lim vn k=0 ∞ (-1) k k ! ψ(k - v + 1) Γ(k - v + 1) ! x 2 2 k-n , 令：l = k - n = -J-n(x) ln x 2 +  l=0 ∞ (-1)l+n l! (l + n) ! ψ (l +1) x 2 2 l+n +  k=0 n-1 (-1)k k ! lim vn ψ(k - v + 1) Γ(k - v + 1) x 2 2 k-n = -(-1)n Jn(x) ln x 2 +  l=0 ∞ (-1)l+n l! (l + n)! ψ (l +1) x 2 2 l+n +  k=0 n-1 (-1) k k ! (-1) n-k (n - k - 1)! x 2 2 k-n z06a.nb 13