14 z06anb 最后一步利用了:lim业-=-(-1yn!(见上一章Pi函数一节的例题,或以下证明)。从而,对 argx<I N,()=2Jntr)In --5n-k-(pm-1 x2k+h [u(k+n+1)+(k+1)l 由W0an行列式:(,N()=2知 Neumann函数与Bese函数线性无关,无论v是否为整数 与Bese函数线性无关的 Neumann函数的确出现(1.21)形式的对数项。这里只是取巧求出其具体形式。 +/)s-(-1yn!的证明 P。 gAmma[z] →-n, Assumptions→[n>0,n∈ Integers} Gamma[z] -(-1)an! 由dgmm函数的定义易证:+D=6+1,1,(+)递推关系 r(=+1) (=) 从而:c)=c+n+1-1 +n-12+n 这里因为二→-n,故把ψ(=)写成上式,以保证叭+n+1)在二→-n时趋于(1)是解析的 类似于r(=),如()在Re>0解析,在z为0或负整数时是单极点,但留数为-1,与r()不同 Residue [Gamma[z],[z, -n], Assumptions+(n20, n E Integers]I Residue [PolyGamma[z],[z,-n), Assumptions [n20, n E Integers]] 另一方面:I(二)= I(+n+1) 这里也因为二→-n而把r()表为:r(x+n+1) 二(=+1)(+2)…(二+n) 从而 (=+n+1) 2nI(二) I(二+n+1) 二(=+1)(=+2)…(+n) 2+n+ (=+1)…(二+n-1)(c+n)(二+n+1) 其中:ψ()在Rez>0解析 r(=+n+1) =(-n)(-n+1)…(-1)=-(-1yn! 65非齐次微分方程的解 对二阶线性齐次常微分方程,据 Frobenius& Fuchs定理,在常点邻域,可以直接求出如下形式的两个线性独立解 ()=∑c-=0),其中:c0≠0 在正则奇点邻域,可求出如下形式的一个解最后一步利用了：lim vn ψ(-v) Γ(-v) = -(-1)n n!（见上一章 Psi 函数一节的例题，或以下证明）。从而，对 arg x < π 有： Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 - 1 π  k=0 n-1 (n - k - 1)! k ! x 2 2 k-n - 1 π  k=0 ∞ (-1)k k ! (k + n)! [ψ(k + n + 1) + ψ(k + 1)] x 2 2 k+n 由Wronskian行列式：W[Jv(x), Nv(x)] = 2 π x 知 Neumann 函数与 Bessel 函数线性无关，无论 v 是否为整数。 与 Bessel 函数线性无关的 Neumann 函数的确出现 (1.21) 形式的对数项。这里只是取巧求出其具体形式。 ◼ lim z-n ψ(z) Γ(z) = -(-1)n n! 的证明 Limit PolyGamma[z] Gamma[z] , z  -n, Assumptions  {n > 0, n ∈ Integers} -(-1)n n! 由 digamma函数的定义易证 ：ψ(z + 1) ≡ Γ′ (z + 1) Γ(z + 1) = 1 z + Γ′ (z) Γ(z) = 1 z + ψ(z) 递推关系 从而：ψ(z) = ψ(z + n + 1) - 1 z - 1 z + 1 - ⋯ - 1 z + n - 1 - 1 z + n , 这里因为 z  -n，故把 ψ(z) 写成上式 ，以保证 ψ(z + n + 1) 在 z  -n 时趋于 ψ(1) 是解析的 。 类似于 Γ(z)，ψ(z) 在 Re z > 0 解析，在 z 为 0 或负整数时是单极点 ，但留数为 - 1，与 Γ(z) 不同。 Residue[Gamma[z], {z, -n}, Assumptions  {n ≥ 0, n ∈ Integers}] Residue[PolyGamma[z], {z, -n}, Assumptions  {n ≥ 0, n ∈ Integers}] (-1)-n n! -1 另一方面 ：Γ(z) = Γ(z + n + 1) z(z + 1) (z + 2) ⋯(z + n) , 这里也因为 z  -n 而把 Γ(z) 表为：Γ(z + n + 1) 从而 lim z-n ψ(z) Γ(z) = lim z-n ψ(z + n + 1) - 1 z - 1 z + 1 - ⋯ - 1 z + n Γ(z + n + 1) z(z + 1) (z + 2) ⋯(z + n) = lim z-n z(z + 1) ⋯(z + n - 1) (z + n) ψ(z + n + 1) - z + n z - z + n z + 1 - ⋯ - 1 Γ(z + n + 1) , 其中：ψ(z) 在 Re z > 0 解析 = (-n) (-n + 1) ⋯(-1) = -(-1)n n! 6.5 非齐次微分方程的解 对二阶线性齐次常微分方程，据 Frobenius & Fuchs 定理，在常点邻域，可以直接求出如下形式的两个线性独立解 w(z) =  k=0 ∞ ck(z - z0)k, 其中： c0 ≠ 0 在正则奇点邻域，可求出如下形式的一个解 14 z06a.nb