z06a.nb15 y=()=)(=-=0+,其中:co≠0 再利用 Wronskian行列式,求出第二个线性无关解 wl1, D2l 当然,对Besl方程,可使用特别技巧得到第二个线性无关解 Neuman函数(也称第二类Bee函数) 因而原则上,二阶线性齐次常微分方程在常点或正则奇点邻域已可求解。(当然对具体问题,还可以有一些不同技巧。) 二阶线性齐次常微分方程两个线性无关解的线性组合,构成齐次方程的通解。 本节讨论非齐次方程如何求解 从微分方程理论可知,要求非齐次方程的通解,只需求齐次方程的通解再加上非齐次方程的一个特解 因而,问题就归结为如何求非齐次方程的一个特解。 Q还是利用 Wronskian行列式 设y,y是齐次方程的两个线性无关解,而y是非齐次方程的一个特解,即: y+pux)yi +qr)yI=0 +p(x)y+q(x)y2=0 y3+p(r)y3+q(x)y3=f(x) 上述第一式乘y3,第三式乘y,然后两式相减,得 dwt, yul dr+p(x)WU,yl=f)(x)(若y与y3均为齐次方程的解,则右边为零) 其中Woem列式mv,y=B1=m-1y 现令W[v,y3l=W1,y2]ax),上式可化为 e dwowy2l wvin'dr p()Wv, y2]u=f()v(x)==7yL 其中利用了 Wronskian行列式WUv1,y2]满足微分方程:dW1,yl/dx=-p(x)Wv,y2],故上式蓝色部分为零 du f(r)y f(x)y(r) f(r) dx s wl, y3]=wl,n21 1,y2l d3/yn) wl, y3I wll, y3l ,yl「cf(x)y(x) 因而,在求得齐次方程的两个线性无关解之后,原则上就可得非齐次方程的一个特解 从而,非齐次方程的通解原则上就解决了。 利用分部积分,上式还可以化成较为对称的形式 看成|ad 此式视为里 wl, y2l 片 Wlv,y21J 37y1 = w(z) =  k=0 ∞ ck(z - z0)k+ρ, 其中：c0 ≠ 0 再利用 Wronskian 行列式，求出第二个线性无关解 y2 = y1  -∫ p(x) x y1 2 x = y1  W[y1, y2] y1 2 x 当然，对 Bessel 方程，可使用 特别技巧得到第二个线性无关解 Neumann 函数（也称第二类 Bessel 函数）。 因而原则上，二阶线性齐次常微分方程在常点或正则奇点邻域已可求解。（当然对具体问题，还可以有一些不同技巧。） 二阶线性齐次常微分方程两个线性无关解的线性组合，构成齐次方程的通解。 本节讨论非齐次方程如何求解。 从微分方程理论可知，要求非齐次方程的通解，只需求齐次方程的通解再加上非齐次方程的一个特解。 因而，问题就归结为如何求非齐次方程的一个特解。  还是利用Wronskian行列式 设 y1, y2 是齐次方程的两个线性无关解，而 y3 是非齐次方程的一个特解，即： y1 ″ + p(x) y1 ′ + q(x) y1 = 0, y2 ″ + p(x) y2 ′ + q(x) y2 = 0, y3 ″ + p(x) y3 ′ + q(x) y3 = f (x) 上述第一式乘 y3，第三式乘 y1，然后两式相减，得： W[y1, y3] x + p(x) W[y1, y3] = f (x) y1 (x), （若 y1 与 y3 均为齐次方程的解 ，则右边为零 ） 其中 Wrongskian 行列式 W[y1, y3] =  y1 y3 y1 ′ y3 ′  = y1 y3 ′ - y1 ′ y3 现令 W[y1, y3] = W[y1, y2] u(x)，上式可化为 u W[y1, y2] x + W[y1, y2] u x + p(x) W[y1, y2] u = f (x) y1(x) ⟹ u x = f (x) y1 W[y1, y2] 其中利用了 Wronskian 行列式 W[y1, y2] 满足微分方程：W[y1, y2]/x = -p(x) W[y1, y2]，故上式蓝色部分为零。 u x = f (x) y1 W[y1, y2] ⟹ u =  f (x) y1(x) W[y1, y2] x ⟹ W[y1, y3] = W[y1, y2]  f (x) y1(x) W[y1, y2] x 另一方面， (y3 /y1) x = W[y1, y3] y1 2 ⟹ y3 = y1  W[y1, y3] y1 2 x = y1  W[y1, y2] y1 2  f (x) y1(x) W[y1, y2] x x 因而，在求得齐次方程的两个线性无关解之后，原则上就可得非齐次方程的一个特解。 从而，非齐次方程的通解原则上就解决了。 利用分部积分，上式还可以化成较为对称的形式 y3 = y1   f (x) y1(x) W[y1, y2] x 此式视为u   W[y1, y2] y1 2 x 此式视为v 看成  u  v = u v -  v  u = y1  f (x) y1(x) W[y1, y2] x 此式视为u  W[y1, y2] y1 2 x 此式视为v - y1  f (x) y1(x) W[y1, y2]  W[y1, y2] y1 2 x 此式视为v x z06a.nb 15