f(x)y(x) (r)y(x) 其中利用了从第一个解通过 Wronskian行列式求解第二个线性无关解的公式:y=n“:d 因为y3的两个不定积分已包含两个待定常数,故y本身就是非齐次方程的通解 q常数变易法 设y1,y2是齐次方程的两个线性无关解,即: y1+p(r)y +q(x)y1=0, 3+p(x)J+q(r)22=0 令非齐次方程 的解为 3=c(x)y(x)+dx)y2(x),(注意若c、d为常数,y3仍然是齐次方程的解) y=cy+d+cy+dyi, cyi+dy=0, J3=cyi+dys =c+dy+cy+dy,把y与代入非齐次方程得 c+d是考(丝(图 +cⅵ+dy≡f(x) 从而我们得到两个关于c和d的方程(上面之两蓝色等式) y2f(r) cy+dy=f(r) d=If(r) 其中 Wronskian行列式Wv1,y2 V1 12 y 通过积分求出c和d,得到y dx-vI wl, y2l 与上一小节用 Wronskian行列式求出的结果完全相同。从齐次方程的两线性无关解,也可求得非齐次方程的一特解 目例题:求方程x2y"-2xy+2y=xlnx的通解 ,q=一,f(x) x=0为正则奇点,由 Frobenius& Fuchs定理 齐次方程有解:y=yx,代入齐次方程得: Sk+p(k+p-1)-2(k+p)+21x=0,各的系数为0 令k=0项的系数为0得指标方程:p(-1)-2p+2=0→p=1,2 p=p1=1代入上方程,有:(2-k)=0→仅当k=0,1时,c#0=n=x(o+c1x)=c0x+c1x p=P2=2代入上方程,有:(k2+k)4=0=k≠0,c=0→均==x y1与y2为齐次方程的线性无关解,令y中的c1=0(为何可以这样做?)得到两个新函数= y2  f (x) y1(x) W[y1, y2] x - y1  f (x) y2(x) W[y1, y2] x， 其中利用了从 第一个解通过 Wronskian 行列式求解第二个线性无关解 的公式：y2 = y1  W[y1, y2] y1 2 x 因为 y3 的两个不定积分已包含两个待定常数，故 y3 本身就是非齐次方程的通解。  常数变易法 设 y1, y2 是齐次方程的两个线性无关解，即： y1 ″ + p(x) y1 ′ + q(x) y1 = 0, y2 ″ + p(x) y2 ′ + q(x) y2 = 0 令非齐次方程 y″ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 的解为： y3 = c(x) y1(x) + d(x) y2(x)，（注意若 c、d 为常数，y3 仍然是齐次方程的解 ） 从而： y3 ′ = c y1 ′ + d y2 ′ + c′ y1 + d′ y2，令 c′ y1 + d′ y2 = 0, ⟹ y3 ′ = c y1 ′ + d y2 ′ y3 ″ = c′ y1 ′ + d′ y2 ′ + c y1 ″ + d y2 ″，把 y3 ′ 与 y3 ″ 代入非齐次方程得 c [y1 ″ + p (x) y1 ″ + q (x) y1] y1 是齐次方程的解，此项为0 + d [y2 ″ + p (x) y2 ″ + q (x) y2] y2 是齐次方程的解，此项为0 + c′ y1 ′ +d′ y2 ′ = f (x) 从而我们得到两个关于 c′ 和 d′ 的方程（上面之两蓝色等式） c′ y1 + d′ y2 = 0 c′ y1 ′ + d′ y2 ′ = f (x) ⟹ c′ = - y2 f (x) W[y1, y2] d′ = y1 f (x) W[y1, y2] 其中 Wrongskian 行列式 W[y1, y2] = y1 y2 y1 ′ y2 ′ ≠ 0 通过积分求出 c 和 d，得到 y3 y3 = y2  f (x) y1(x) W[y1, y2] x 此式为d(x) - y1  f (x) y2(x) W[y1, y2] x 此式为c (x) 与上一小节用Wronskian行列式求出的结果完全相同。从齐次方程的两线性无关解，也可求得非齐次方程的一特解。 ☺ 例题：求方程 x2 y″ - 2 x y′ + 2 y = x ln x 的通解 解：p(x) = - 2 x , q = 2 x2 , f (x) = ln x x , x = 0 为正则奇点 ，由 Frobenius & Fuchs 定理 齐次方程有解 ：y = xρ k=0 ∞ ck xk， 代入齐次方程得 ：  k=0 ∞ ck[(k + ρ) (k + ρ - 1) - 2 (k + ρ) + 2] xk = 0，各 xk 的系数为 0。 令 k = 0 项的系数为 0 得指标方程 ：ρ (ρ - 1) - 2 ρ + 2 = 0 ⟹ ρ = 1, 2 ρ = ρ1 = 1 代入上方程 ，有：k2 - k ck = 0 ⟹ 仅当 k = 0, 1 时，ck ≠ 0 ⟹ y1 = xρ1 (c0 + c1 x) = c0 x + c1 x2 ρ = ρ2 = 2 代入上方程 ，有：k2 + k ck = 0 ⟹ k ≠ 0，ck = 0 ⟹ y2 = c0 ′ xρ2 = c0 ′ x2 y1 与 y2 为齐次方程的线性无关解 ，令 y1 中的 c1 = 0 （为何可以这样做 ？） 得到两个新函数 ： 16 z06a.nb