z06a.nb17 =x,y2=x2仍然是齐次方程的线性无关解 Wronskian行列式W1,y2l= 为Jmn1an∫mB 解出:=c1x+C2x2-x|-ln2x+hx+ C1eax["G1oba1★"] W= Wronskian[[yl, y21,x]; fx y2 x-yl Integrate y3= Simplify [%] ys= cl y1+c2 y2 y3 DSolve[x Y[x]-2xy[x]+2y[x]-x Log[ x] =0, y[x], x] x(2+2Lo9【x]+Log【x]2) c1x+c2.x(2+2 Log[x]+ Log[x]2) y(×1)+x1+x2(2]+(-2x-2x109(]-x109(x1) 65超几何方程与合流超几何方程 物理问题中常见的常微分方程除: Legendre方程、 Bessel方程外,还有 Laguerre方程、 Hermite方程、 Chebyshev方程、 Hypergeometric方程和 Confluent hypergeometric方程 前面的方程,可看成 Hypergeometric方程或 Confluent hypergeometric方程的特殊情况,因此有必要简要了解 Q超几何方程 如下形式的二阶常微分方程称为超几何方程,也称为高斯方程 (1-x)y+[c-(1+a+b)xly-aby=0, p(x) 其中a,b,c为实数。显然x=0,1和∞是方程的正则奇点。 1.高斯方程在x=0邻域的解 因为x=0是正则奇点,据 Frobenius and fuchs定理,方程必有一解为如下形式 代入微分方程 I(h +p)(k [c-(1 +a+b)xl(k +p)-xa bly1 = x, y2 = x2 仍然是齐次方程的线性无关解 。 Wronskian 行列式 W[y1, y2] = x2 y3 = y2  f (x) y1 W[y1, y2] x - y1  f (x) y2 W[y1, y2] x 解出：y3 = c1 x + c2 x2 - x 1 2 ln2 x + ln x + 1 Clear["Global`*"] y1 = x; y2 = x2; W = Wronskian[{y1, y2}, x]; fx = Log[x] x ; y3 = y2 Integrate fx y1 W , x - y1 Integrate fx y2 W , x ; y3 = Simplify[%] ys = c1 y1 + c2 y2 + y3 DSolve[x2 y″[x] - 2 x y′[x] + 2 y[x] - x Log[ x]  0, y[x], x] - 1 2 x 2 + 2 Log[x] + Log[x]2 c1 x + c2 x2 - 1 2 x 2 + 2 Log[x] + Log[x]2 y[x]  x C[1] + x2 C[2] + 1 2 -2 x - 2 x Log[x] - x Log[x]2 6.5 超几何方程与合流超几何方程 物理问题中常见的常微分方程除：Legendre方程、Bessel方程外，还有 Laguerre方程、Hermite方程、Chebyshev方程、Hypergeometric方程和 Confluent hypergeometric 方程。 前面的方程，可看成 Hypergeometric方程或 Confluent hypergeometric 方程的特殊情况，因此有必要简要了解。  超几何方程 如下形式的二阶常微分方程称为超几何方程，也称为高斯方程。 x (1 - x) y″ + [c - (1 + a + b) x] y′ - a b y = 0, p(x) = c - (1 + a + b) x x(1 - x) , q(x) = - a b x(1 - x) (1.30) 其中 a, b, c 为实数。显然 x = 0, 1 和 ∞ 是方程的正则奇点。 1. 高斯方程在x = 0 邻域的解 因为 x = 0 是正则奇点，据 Frobenius and Fuchs定理，方程必有一解为如下形式： y = xρ  k=0 ∞ ck xk, 其中 c0 ≠ 0 代入微分方程，  k=0 ∞ {(k + ρ) (k + ρ - 1) (1 - x) + [c - (1 + a + b) x] (k + ρ) - x a b} ck xk+ρ-1 = 0 z06a.nb 17