18 z06anb 由x-1的系数为0,可得指标方程为:p(p-1)+cp=0=p=0,P2=1-c 取p=0,可导出c的递推关系 (k+1)kckI-k(k-1)ck+c(k+1)ck1 -(1 +a+b)kck-abck=o c,≈(+a)(k+b (akk(b)k (k+1)(k+ (c)k 从而得解 y1(x)=2F1(a,b,c,x)= c≠0,-1,-2,-3,,称为超几何函数 (c)k k 超几何函数使用了左、右两个下标m和n,分别代表分子和分母中 Pochhammer符号的个数。 前m个参数用于分子的 Pochhammer符号,后n个参数用于分母的 Pochhammer符号,最后一个是自变量x 更一般的“广义”超几何函数写成 pFq(a1,a2,…,ap;b,b2,……,bhqx) (a1)(a2)k…(apD)kx (b1)k(b2k…(b)kk! 其中左、右下标分别表示分子和分母中 Pochhammer符号的个数 可以证明,这种形式的函数可以表示任何相邻系数之比为有理式的级数,即 f(x)=aKx 其中A(k)和B(k)为k的多项式 B(k) 许多初等函数及特殊函数都可以用这种“广义”超几何函数表示。例如 指数函数:e=0F0(;x),对数函数:ln(1+x)=x2F1(1,1;2;-x) 因此,某种意义上,“广义”超几何函数在数学分析中完成了像物理学中的大统一理论 超几何函数与合流超几何函数作为超几何方程(1.30)和合流超几何方程的解,是“广义”超几何函数的两个物理上常用的特 例 再回到超几何方程(30),我们已得到一个解2F1(a,b,c,x),另一个解可以由另一个指标P2=1-c求出 这里再用一点数学技巧,设: y2(x)=x-gx),其中g(x)为x=0邻域的解析函数,代入高斯方程(1.30)可得gx)满足的方程 c1ear[" Globa1★"] (1-x)y"[x]+(-(1+a+b)x)y[x] eqg=eq/.{Y【x]→x1-°g【x],Y'【x]→D[x2-°g【x],x],y"[x]→D【x1eg【x],【x,2}] simplify[eqg/x-c//TraditionalForm g(x)(x(a+b+3)-2cx+c-2)+(a-c+1)(-b+c-1)g(x)-(x-1)xg"(x) (1-x)xg(+g(-a-x(a+b#3-2a|-a-+D(6-+Dg)=0 这个方程又是超几何方程(1.30),故可解得:g(x)=2F1(a-c+1,b-c+1;2-c,x) 1,b-c+1;2-c,x),c≠2,3,4, 比较:y(x)=2F1b功=户a( 可知,以上所求之y(x)和y2(x)在c为非整数时线性无关 为不等于1的整数时,y(x)和y2(x)有一个可能出现分母为0, 因而,当c为整数时,y(x)和y2(x)中仅剩一个解,方程的另一个解含对数项,形如(1.21)中的y2(x)形式 通常说的超几何函数指的是F1(a2b=当a)()k由 xρ-1 的系数为 0，可得指标方程为： ρ(ρ - 1) + c ρ = 0 ⟹ ρ1 = 0, ρ2 = 1 - c 取 ρ = 0，可导出 ck 的递推关系： (k + 1) k ck+1 - k(k - 1) ck + c (k + 1) ck+1 - (1 + a + b) k ck - a b ck = 0 ⟹ ck+1 = (k + a) (k + b) (k + 1) (k + c) ck ⟹ ck = (a)k (b)k (c)k k ! c0 从而得解： y1(x) = 2F1 (a, b; c; x) = k=0 ∞ (a)k (b)k (c)k xk k ! c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为超几何函数 。 超几何函数使用了左、右两个下标 m 和 n，分别代表分子和分母中Pochhammer符号的个数。 前 m 个参数用于分子的Pochhammer符号，后 n 个参数用于分母的Pochhammer符号，最后一个是自变量 x。 更一般的“广义”超几何函数写成， pFq (a1, a2, …, ap; b1, b2, …, bq; x) = k=0 ∞ (a1)k (a2)k ⋯(ap)k (b1)k (b2)k ⋯(bq)k xk k ! 其中左、右下标分别表示分子和分母中Pochhammer符号的个数。 可以证明，这种形式的函数可以表示任何相邻系数之比为有理式的级数，即 f (x) = k=0 ∞ αk xk, αk αk-1 = A(k) B(k) , 其中 A(k) 和 B(k) 为 k 的多项式 。 许多初等函数及特殊函数都可以用这种“广义”超几何函数表示。例如： 指数函数 ：x = 0F0 ( ;; x), 对数函数 ： ln (1 + x) = x 2F1 (1, 1; 2; -x) 因此，某种意义上，“广义”超几何函数在数学分析中完成了像物理学中的大统一理论。 超几何函数与合流超几何函数作为超几何方程 (1.30) 和合流超几何方程的解，是“广义”超几何函数的两个物理上常用的特 例。 再回到超几何方程 (1.30) ，我们已得到一个解 2F1 (a, b; c; x)，另一个解可以由另一个指标 ρ2 = 1 - c 求出。 这里再用一点数学技巧，设： y2(x) = x1-c g(x), 其中 g(x) 为 x = 0 邻域的解析函数 ，代入高斯方程 (1.30) 可得 g(x) 满足的方程 Clear["Global`*"] eq = x (1 - x) y″[x] + (c - (1 + a + b) x) y′ [x] - a b y[x]; eqg = eq /. {y[x]  x1-c g[x], y '[x]  D[x1-c g[x], x], y ''[x]  D[x1-c g[x], {x, 2}]}; Simplifyeqg  x1-c // TraditionalForm -g′ (x) (x (a + b + 3) - 2 c x + c - 2) + (a - c + 1) (-b + c - 1) g(x) - (x - 1) x g′′(x) (1 - x) x g′′(x) + g′ (x) (2 - c) c′ - x (a + b + 3 - 2 c) 1+a′ +b′ - (a - c + 1) a′ (b - c + 1) b′ g(x) = 0 这个方程又是超几何方程 (1.30)，故可解得：g(x) = 2F1 (a - c + 1, b -c + 1; 2 - c; x) y2(x) = x1-c 2F1 (a - c + 1, b -c + 1; 2 - c; x), c ≠ 2, 3, 4, …, 比较：y1(x) = 2F1 (a, b; c; x) =  k=0 ∞ (a)k (b)k (c)k xk k ! 可知，以上所求之 y1(x) 和 y2(x) 在 c 为非整数时线性无关 。 当 c = 1 时，y2(x) = y1(x)；当 c 为不等于 1 的整数时， y1(x) 和 y2(x) 有一个可能出现分母为 0，舍去。 因而，当 c 为整数时， y1(x) 和 y2(x) 中仅剩一个解，方程的另一个解含对数项，形如 (1.21) 中的 y2(x) 形式。 通常说的超几何函数指的是 2F1 (a, b; c; x) = k=0 ∞ (a)k (b)k (c)k xk k ! 。 18 z06a.nb