z06a.nb19 2超几何函数的收敛性 高斯方程:x(1-x)y"+{e-(1+a+b)xly-aby=0的一个解可写成如下无穷级数形式 (a)(b)k x Fi(a, b; c, x) E0 (c)kk c≠0,-1,-2,-3,…,称为超几何函数 其相邻系数之比 k+ a)(k+b) 1,收敛半径R=1 可以证明,当a,b,c和x均为实数时, 级数在-1≤x≤1收敛 如a+b-1<c≤a+b,级数在-1≤x<1收敛 Clear[a, b, c, x] 2FI[a, b 4}] abxa(1+a)b(1+b)x2a(1+a)(2+a)b(1+b)(2+b) 6c(1+c)(2+c) a(1+a)(2+a)(3+a)b(1+b)(2+b)(3+b)x4 24c(1+c)(2+c)(3+c) 3.用超几何函数表示其它特设函数一超几何函数表示 超几何方程通过变量代换,可化为许多微分方程。因而许多微分方程的解(对应于特殊函数),即可表为超几何函数 作为例子,看 Legendre方程(1.2)和 Gauss方程(1.7) gendre方程 (1-x2)y-2xy+l+1)y=0 Hypergeometric方程 x(x-1)y"+(1+a+b)x-c]y+aby=0,也称为 Gauss方程。 对Gis程做变量变换x=-n,并令:g(0=y1x),方程化为 hypox =x(x-1)y[x]+((a+b+1)x-c)y[x]+aby[x] sol Solve[x =(1-t)/2, t]i sim= [ y[x]+g[t],y'[x]+D[g[t] /. sol[[1]], x], Y''【x]→D[g[t]/.so1[[1]],{x,2}]} hypgt hypox/. sim/x+(1-t)/2 Simplify [hypgt]// TraditionalForm Y[x]→g[t],y[x]→-2g[1-2x],y"[x]→4g"[1-2x] gf(0(a(-1)+b(-1)+2c+t-1)+abg(0)+(2-1)g) (1-P)g(+la+b-2c+1-(a+b+1)lg(0)-abg(0=0 (131) 与 Legendre方程:(1-x2)y-2xy++1)y=0比较, l,b=l+1,c=1 当{a+b+1)=2时,→当{或 g(所满足的方程(1.31)即为 Legendre方程,但是,2. 超几何函数的收敛性 高斯方程：x (1 - x) y″ + [c - (1 + a + b) x] y′ - a b y = 0 的一个解可写成如下无穷级数形式： 2F1 (a, b; c; x) = k=0 ∞ (a)k (b)k (c)k xk k ! c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为超几何函数 。 其相邻系数之比 ck+1 = (k + a) (k + b) (k + 1) (k + c) ck ⟹ lim k∞ ck-1 ck = 1，收敛半径 R = 1 可以证明，当 a, b, c 和 x 均为实数时， 如 c > a + b, 级数在 - 1 ≤ x ≤ 1 收敛 如 a + b - 1 < c ≤ a + b, 级数在 - 1 ≤ x < 1 收敛 Clear[a, b, c, x]; Series[Hypergeometric2F1[a, b, c, x], {x, 0, 4}] 1 + a b x c + a (1 + a) b (1 + b) x2 2 c (1 + c) + a (1 + a) (2 + a) b (1 + b) (2 + b) x3 6 c (1 + c) (2 + c) + a (1 + a) (2 + a) (3 + a) b (1 + b) (2 + b) (3 + b) x4 24 c (1 + c) (2 + c) (3 + c) + O[x]5 3. 用超几何函数表示其它特设函数 —— 超几何函数表示 超几何方程通过变量代换，可化为许多微分方程。因而许多微分方程的解（对应于特殊函数），即可表为超几何函数。 作为例子，看Legendre方程 (1.2) 和 Gauss方程 (1.7) Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0，也称为Gauss方程 。 对Gauss方程做变量变换 x = (1 - t) 2 ，并令：g(t) = y(x)，方程化为 hypgx = x (x - 1) y″[x] + ((a + b + 1) x - c) y′[x] + a b y[x]; sol = Solve[x  (1 - t) / 2, t]; sim = {y[x]  g[t], y '[x]  D[g[t] /. sol[[1]], x], y ''[x]  D[g[t] /. sol[[1]], {x, 2}]} hypgt = hypgx /. sim /. x  (1 - t) / 2; Simplify[hypgt] // TraditionalForm {y[x]  g[t], y′ [x]  -2 g′ [1 - 2 x], y′′[x]  4 g′′[1 - 2 x]} g′ (t) (a (t - 1) + b (t - 1) + 2 c + t - 1) + a b g(t) + t 2 - 1 g′′(t) 1 - t 2 g′′(t) + [a + b - 2 c + 1 - (a + b + 1) t] g′ (t) - a b g(t) = 0 (1.31) 与Legendre方程：1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 比较， 当 a + b - 2 c + 1 = 0 (a + b + 1) = 2 a b = -l(l + 1) 时，⟹ 当 a = -l，b = l + 1, c = 1 或 a = l + 1，b = -l, c = 1 时 g(t) 所满足的方程 (1.31) 即为 Legendre方程，但是， z06a.nb 19