A-10 AE-A=0x-20=(x-2)( 20λ+2 得A的特征值A1=2=2, 对于A1=2=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得其基础解系 51=(2,0,1)2,2=(00 对于3=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)x=0,得基础解系 53=(10,-2) 由于51,5253已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将51,5253单位化,由此 n=求),n=00,n= 令矩阵 Q=[n2n]=010 则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有 OAO 020 0 0 且二次型的标准形为 f=2y2+2y2-3 【评注】本题求ab,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定: 二次型f的矩阵A对应特征多项式为 0 AE-4=04-20=(-2)2-(a-2)2-(2a+b2 b02 设A的特征值为λ2,3,则A=2,2+3=a-2,A2A2=-(2a+b2)由题设得 1+2+3=2+(a-2)=1,14 ( 2) ( 3) 2 0 2 0 2 0 1 0 2 2 = − + − + − − − − =      E A ， 得 A 的特征值 2, 3. 1 = 2 = 3 = − 对于 2, 1 = 2 = 解齐次线性方程组 (2E − A)x = 0 ，得其基础解系 T (2,0,1)  1 = ， (0,1,0) . 2 T  = 对于 3 = −3 ，解齐次线性方程组 (−3E − A)x = 0 ，得基础解系 (1,0, 2) . 3 T  = − 由于 1 2 3  , , 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 1 2 3  , , 单位化，由此 得 T ) 5 1 ,0, 5 2 ( 1 = ， T (0,1,0) 2 = ， ) . 5 2 ,0, 5 1 ( 3 T  = − 令矩阵                 − = = 5 2 0 5 1 0 1 0 5 1 0 5 2 Q 1 2 3 ， 则 Q 为正交矩阵. 在正交变换 X=QY 下，有           − = 0 0 3 0 2 0 2 0 0 Q AQ T ， 且二次型的标准形为 2 2 3 . 2 3 2 2 2 1 f = y + y − y 【评注】 本题求 a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为 ( 2)[ ( 2) (2 )]. 0 2 0 2 0 0 2 2 a a b b a b E A = − − − − + − + − − − − =        设 A 的特征值为 1 2 3  , , ，则 2, 2, (2 ). 2 1 = 2 + 3 = a − 23 = − a + b 由题设得 1 + 2 + 3 = 2 + (a − 2) =1