0::0 00:1 由此得原方程组的同解方程组为 x2=x1,x3=x1 原方程组的一个基础解系为 a=(11,…,1) 【评注】本题的难点在b=-∑a时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的 秩为n1(存在n1阶子式不为零),且显然a=(11…,1)为方程组的一个非零解,即可作 为基础解系 完全类似问题202年已考过,见2002年数学三第九题 十、(本题满分13分) 设二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ax2+2x2-2x2+2bx1x3(b>0) 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求ab的值 (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和,特征值之积为A的行列式,由此可 求出ab的值:进一步求出A的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若 有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵 【详解】(1)二次型f的矩阵为 0 b A=020 设A的特征值为(=1,2,3)由题设,有 λ+2+3=a+2+(-2)=1, 23=020 解得a=1,b=-2 (2)由矩阵A的特征多项式13 → . 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0                 − − −         由此得原方程组的同解方程组为 2 1 x = x ， 3 1 x = x ， 1 , x x  n = . 原方程组的一个基础解系为 (1,1, ,1) .  T  = 【评注】 本题的难点在 = = − n i b ai 1 时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的 秩为 n-1(存在 n-1 阶子式不为零)，且显然 T  = (1,1,  ,1) 为方程组的一个非零解，即可作 为基础解系. 完全类似问题 2002 年已考过，见 2002 年数学三第九题. 十、（本题满分 13 分） 设二次型 ( , , ) 2 2 2 ( 0) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b  T ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为 A 的主对角线上元素之和，特征值之积为 A 的行列式，由此可 求出 a,b 的值；进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若 有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解】 （1）二次型 f 的矩阵为 . 0 2 0 2 0 0           − = b a b A 设 A 的特征值为 (i = 1,2,3). i 由题设，有 1 + 2 + 3 = a + 2 + (−2) =1， 4 2 12. 0 2 0 2 0 0 2 1 2 3 = − − = − − = a b b a b    解得 a=1,b= -2. (2) 由矩阵 A 的特征多项式