84,2 Hankel算子和 Hankel范数 即(rGu)(s)是(Gu)(s)在%2上的投影,就是(Gu)(s)的稳定部分.显然,r将一个反稳定的频域信 号u(s)映射为一个稳定的频域信号认(s).(4.12)式是G定义的 Hankel算子在频域中的表达 由于C2(-∞,∞)=C2(-∞,0)④C2(0,∞),亦可定义投影算子 (-∞,∞)→C2(0,∞) )→C2(-∞,0) 记G∈RHa的 Laplace反变换为G:,则时域中的 Hankel算子定义为 TGt: C(00, 0)C(0, oo), (IG,u)(t)=I+(EG u)(t) (4.13) t<0 (TG2u)(t)= (4.14) 广G:(t-T)u(T)dr,t≥ 在时域中,TG:将一个反因果输入信号u(t)映射为一因果输出y(t),见图41 TG 图41: Hankel算子 为简便起见下面将用IG表示频域和时域的 Hankel算子.设(A,B,C,D)是G∈Rha的一个最小 实现.则对于u(t)∈C2(-∞,0) y(t)=(rGu)(t) CeA(t-T)Bu(r)dr, t>0 显然,D.矩阵的存在与否对y(t),从而对rG没有影响 下面我们研究rG的伴随( adjoint operator)算子 定义4.5设IG.是C(0,∞)到C2(-∞,0)的一个算子,且对任意的u(t)∈C2(-∞,0),y(t∈C2(0,∞) 都有 则称rG.是IG的伴随算子(或共轭算子) 注意,共轭算子是共轭转置矩阵概念的推广.引理41给出了IG.的表达式 引理41对于y(t)∈C2(0,∞) (rG.y)(t)= A(r-tC“y(r)dT t<0 证明:由IG.的定义可知它是C2(0,∞)到C(-∞,0)的一个算子.所以,只需证明对任意的u(t)∈ C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞),都有(rGu,y)={u,rG.y)就行了.由于u(t)=0vt>0,y(t)=0t<0 (T)B (T)B➨ ➩➫ ➭➲➯❄➳➵➸➺➻✫➼✟➽✝➾❳➯❄➳➵➸➺➻❁➚✮➪ ➶ ➹ ➘❊➴ ➷➆➬✁➮➱❁✃ ➴ ❐ ✃✦❒ ➴ ❮☞➮➱✓✃ ➴ ❐ ✃✓❰✍ÏÑÐ❇Ò✡Ó✝Ô✝Õ✡Ö✗×✟❒ ➴ ❮✟➮➱✓✃ ➴ ❐ ✃❄Ó✝Ø✟Ù✝Ú✟Û✡Ü✮Ý✝Þ✿Ö ➷➆➬✿ß✕à✝á✟âØ✟Ù✡Ó☞ã✕ä✟å æç➮➱ ➴ ❐ ✃❁è☞é✕êà✝áØ✕Ù✕Ó✝ã✟ä✕åæë➮ì ➴ ❐ ✃ í ➴ î í ï ð ✃✫ñ✟❒➲ò ❮ Ù✟ó✕Ó❘ô❁õö÷ø ù➆ú✟û✟❰✟ã✟ä✸ü✝Ó☞ý✕þ✡Ü ò✗ÿ✁❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✟✞✝❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ✡☛❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ☞ ✌✎✍✟Ù✟ó✟Ô✝Õ✕ú✟û ✏☎✑✓✒ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✕✔✂✗✖ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ✏✙✘✚✒ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✕✔✂✗✖ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ✛❊❮✢✜✤✣Ï✦✥②Ó✁✧➆õ★ùõ✩ ø â✝✪✝✫ê ❮✤✬ ☞ ✭✝✮✟ä✸ü☞Ó❘ô❁õö÷ø ù✫ú✟û✕Ù✟ó✟ê ➷➆➬✰✯ ✒ Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃✕✔✂✗✖ Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ✆ ➴ ➷➆➬✱✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞ ✏☎✑ ➴ ✳✫➬✴✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃ ➴ î í ï ✵ ✃ ➘ ➴ ➷➆➬✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞ ✶ ✠ ✲✰✷✸✠✴✆ ✹ ✥ ✘ ✥ ❮✺✬ ➴ ✲✕✂✼✻ ✃ ➱ ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆ ✲✴✾✝✠✴✿ ➴ î í ï î ✃ ❰✝✮✟ä✸ü☞Ö ➷➆➬✙✯✦ß✕à✝á✟â✝❀✝❁✝❂✝❃åæ ➱ ➴ ✲ ✃❁è☞é✕êà✸❀✝❁✝❂✎❄ ì ➴ ✲ ✃ ☞ ❅✝❆ î í ï í ❇ ❈ ❉ ➷➆➬ ❇ ❇ ❊ ❇ ❊ ❋❍● ■ ❏ ❑✟▲✴▼◆❖P◗✗❘❚❙ ê✝❯✎❱✎❲✎❅✎❳✎❨ß✎❩❊➷➆➬ ý✎❬✕ã✕ä✎❭✎✮✕ä✿Ó❳ô❁õö÷ø ù■ú✕û✿Ü✼❪ ➴❫❴✆ ❵❛✆ ❜✙✆ ❝✃✦❒ ❮☛✜✦✣Ï✦✥▼Óà✟á✎❞✎❡ ❢✝❣Ü✼✭✝❤✕ÿ❘➱ ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ì ➴ ✲ ✃✱✞ ➴ ➷➆➬ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞✎✐✚❥✘ ✥ ❜✙❦❧✟♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❵ ➱ ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆q✲✴r✝✠✴✿ Ý✝Þ✡Ö ❝❴st✝✉Ó✓✈✟❰✎✇✝①✎❤❳ì ➴ ✲ ✃ ☞ ②✝③✝❤ ➷➆➬⑤④✝⑥Õ✝⑦✡Ü ❳✝❨✝⑧✝⑨✝⑩✝❶ ➷➆➬ Ó✓❷✝❸ ➴ õ❹❺ ❻ ❼ö❽✰❻★■ø ❾õ❽ ❻❾ ✃✦ú✟û✡Ü ❿✝➀➂➁✟➃ ➄✎➅ ➷➆➬✰➆❴➇ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃✴➈➉❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃✴➊✎➋✎➌✎➍✎➎✿Ö✼➏✎➐✎➑✎➒✎➊❊➱➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ➓✈ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ➓ ➔✝→ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✕↔✕✞ ➣ ➱ ✆ ➷➆➬➆ ì✕↔ ✆ ➴ î í ï ➹ ✃ ↕✝➙ ➷➆➬✰➆✙➇❊➷➆➬ ➊✝➛✝➜✝➍✝➎➞➝➟✝➠✝➡✎➍✝➎✓➢ÑÜ ➤✝➥Ö✼➦✝➧✟ú✟û✟❒✎➦✎➧✝➨✎➩t✎✉✝➫✎➭Ó✓➯✎➲✡Ü✼➳✎➵ î í ï❴➸❄✝➺ ➷➆➬☎➆ Ó☞ý✟þ✟ñ✡Ü ➻✝➼➂➁✟➃ ➽ ➐✝➾ ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ➓ ➴ ➷➆➬➆ ì✫✃ ➴ ✲ ✃✱✞✎✐ ✥ ❥ ❵❴➚ ❦❧ ➆ ♠ ♥ ✘ ✬ ♣ ❜❴➚ ì ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆q✲✴✷✝✠✴✿ ➴ î í ï ➶ ✃ ➪✎➶➉➹ ò ➷➆➬☎➆ Ó✟Ù✕ó✎✍✝➘✎➴✕❒➞❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃✙➷➬❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃❱Óà✟áú✕û✿Ü✼➮✎➱✸Ö✼✃⑤❐✎❒⑤❮✎❤⑤❰➥Ó ➱ ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ☞ ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ☞ Ï⑥ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✟↔✱✞ ➣ ➱ ✆ ➷➆➬➆ ì✱↔✫×✝Ð➺ Ü✕ò✗ÿ✍➱ ➴ ✲ ✃✱✞✎Ñ✤Ò✲✴r✝✠ ☞ ì ➴ ✲ ✃✱✞✎Ñ✤Ò✲✴✷✝✠ ☞ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✕↔Ó✞ ✐ ✥ ❥ÕÔ✐✓❥ ✘ ✥ ➱ ➚ ➴ ✻ ✃ ❵❴➚✟❦❧ ➆ ♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❜❴➚ ✽ ✻Ö ì ➴ ✲ ✃ ✽ ✲ ✞ ✐ ✥ ❥ ✐✚❥✘ ✥ ➱ ➚ ➴ ✻ ✃ ❵❴➚♦❦❧ ➆ ♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❜❴➚ ì ➴ ✲ ✃ ✽ ✻ ✽ ✲♦✆