笫四章 Hankel范数模型逼近理论 交换积分次序可得 TIGu, y) "()/BeA"(-uC" y(t)dtd v(r)在整个时间轴上都有定义.特别地,当T>0时v(r)≠0.但由于u(r)∈C2(-∞,0),U(r)在r>0 时的值对积分无影响.若定义 (Ic,y)(t)=Ⅱ-v(t) Be-A(-rC"y(r)dr,t 则(reu,y)={u,re.y)Yu(t)∈C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞) 422‖R-Q‖的一个下界 由 Hankel算子和算子范数的定义,可得 (t)y(t)dt (417) (t)u(t) di 式中v(t)=(Icu)(t).上式中的范数rc‖叫做G的 Hankel范数对于传递函数矩阵G,将|rl‖记 为‖CH|.显然,‖·‖r并不满足范数的条件(i),因为当G.∈咒时,即使G≠0,vu(s)∈ (Gu)(s)∈%2.于是rcu)(s)=0.所以,‖·|a只是半范数( seiml-norm).只有把G限制在咒a上时, G|a才成为范数.由定理4.1容易证明 rc‖,‖ra.‖=|rd‖,‖rcl‖2=|ra.I 用 Hankel范数可以容易地给出‖R-ρ‖s的一个下界。考虑一块问题 引理4 IR-Qlloo 这里R,Q∈咒H.于是R-Q,∈RC.记G=R-Q,,由定理4.2 p{Gu|g:u∈C2,lll=1} p{|Gu|2:u∈H2,‖l=1 ≥sup{|In2Gu|:u∈2,‖ll=1} 这就是所需的结果 (419)式给出了一块问题的一个下界.若能证明存在Qp∈R∞使(419)中的等号成立,则‖fln 就是可达到的下确界,Q。p即最优解 8423 Hankel范数的计算 前一小节的分析说明, Hankel范数的计算是解化。控制问题的一个关键。本节将给出 Hankel范数 的解析计算公式 定理43令(A,B,C)是稳定的传递函数矩阵G的一个最小实现, BBe dt 则‖rd‖=√人ma(P·Q),这里λmx()是矩阵的最大特征值× × Ø✝Ù✝ÚÜÛ☎ÝÞßàá✗â✝ã✝ä✝å✝æ✝ç✎è✝é ê✝ë✝ì✝í✝î✝ï✝ð✎ñ ò ó♦ô☎õ❚ö ÷✟ø✱ù✎ú✓û ü♦ý õ✴þ ÿ ￾ ✁✄✂ú ý û✆☎ þ ✝✞✠✟ ✡ ☛ ü✌☞ ✍ ✎ þ ÷✱ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ ✒ ✓ ✔✕ ✖ ✗ ✘✚✙ ✡ ☞ ✍ ✑ ￾✄✛ ✙ ÿ ￾ ✁✢✜✤✣✤✥✤✦✤✧✤★✤✩✤✪✤✫✭✬✤✮✭✯✱✰✤✲✤✳✵✴✷✶ ￾✹✸✭✺ ✦ ✙ ÿ ￾ ✁✼✻ù✭✽✌✾❀✿❂❁❄❃ õ✰ÿ ￾ ✁❀❅❄❆❀❇ ÿ ❈✄❉✝ö ✺ ✁ ❊ ✙ ÿ ￾ ✁✢✜ ￾❋✸✭✺ ✦✭●✷❍❏■ì✝í❏❑✤▲✭▼ ✯✱◆✭✬❏✮ ÿ ó♦ô✟ ÷ ✁ ÿ ✏ ✁ ù✤❖ ü ✙ ÿ ✏ ✁ ù ú ý ûP☎ þ ✝ ü ✞ ✟ ✡ ☛ ü✌☞ ✍ ✎ þ ÷✱ÿ ￾ ✁ ✑ ￾✙ö◗✏✢❘❏✺✴ö ❙ ò ó♦ô☎õ❚ö ÷✕ø✱ù⑤ò õ✦ö ó♦ô✟ ÷✕ø❯❚✦õ☎ÿ ✏ ✁❯❅❋❆❀❇ ÿ ❈✄❉✝ö ✺ ✁ ❊ ÷✱ÿ ✏ ✁✢❅❱❆❀❇ ÿ ✺ ö ❉ ✁ ✾ ❲ ❳✠❨ ❩✌❨ ❩❭❬ ❪ ❈❴❫ ❬ ý❛❵❴❜❴❝✤❞❴❡ ❁❣❢❀❤✐❥❦ ❧✌♠❏♥❏♦❏♠❏♥✤♣❴q●❴✬✤✮✤✴ ð✎ñ ❬ ó♦ô ❬ ❇ ùsrt✉ ✈ ✡ ☛ ✍ ✇ ① ② ✡ ü♦ý④③ û ✍ ú ý û ÷✕þ ÿ ✏ ✁ ÷✴ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ úû ü♦ý õ✴þ ÿ ✏ ✁ õ☎ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ ö ÿ ⑤ ✾ ⑥ ⑦ ✁ ⑧⑩⑨ ÷✱ÿ ✏ ✁ ù ÿ ó♦ô☎õ ✁ ÿ ✏ ✁ ✾ ✩⑧⑩⑨ ●♣❏q ❬ ó♦ô ❬❋❶❄❷❹❸ ● ❢❀❤✐❥❦ ❧✢♣❏q✯✱■❃✤❺❏❻✵❼❴q❾❽➀❿❸❊✠➁ ❬ ó♦ô ❬④➂ ➃ ❬ ❸❋❬ ➄ ✾❋➅❏➆✴ ❬✄➇✚❬ ➄⑩➈✭➉❏➊✭➋♣❏q●❴➌✤➍ ÿ ➎ ➎ ✁✼✴❴➏ ➃ ✶ ❸ þ ❅❴➐✹➑ ý ✦✵✴✷➒❴➓ ❸ ✻ù❂✺ ❊ ❚❀➔õ✰ÿ → ✁✹❅❴➑❱❇➣❯❊ ÿ ❸ õ➔ ✁ ÿ → ✁❀❅↔➑❱❇➣ ✾↕❃❴➙ ÿ ó♦ô❱➔õ ✁ ÿ → ✁ ù✤✽✌✾↕➛✵➜ ✴ ❬↕➇ ❬ ➄✤➝➙❏➞✤♣❴q ÿ r ❦➟↔➎ ➠ ✐➡➢➟ ✁ ✾ ➝✫❏➤ ❸❂➥✷➦✜➧➐✹➑ ý ✩❏✦✭✴ ❬ ❸❋❬ ➄✭➨❴➩➃ ♣❴q✯ ❁ ✬❏➫ ⑤ ✾ ⑥➯➭✭➲✷➳➀➵ ❬ ó♦ô ❬ ù ❬ ó♦ô✢➸ ❬ ö ❬ ó♦ô✟ ❬ ù ❬ ó♦ô ❬ ö ❬ ó♦ô ❬ ❇ ù ❬ ó♦ô✟ ó♦ô ❬ ✛ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ➺ ✁ ➻ ❢❀❤✐❥❦ ❧✌♣❴qð ➜❄➭✭➲✳✤➼✵➽ ❬ ❪ ❈❴❫ ❬ ý ●❴➾❴✥✤➚❴➪✭✯✱➶❏➹✭➾❴➘➀➴❄➷✵✯ ➬✷➮ ❳✠❨ ❩ ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐✢❒ ❬ ❪ ❈✷❫ ❬ ý➀❮ ❬ ❪ þ ❬ ➄ ✛ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ Ï✭ÐÒÑ ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐❀❒ ❬ ❪ ❈✷❫ ❬ ý ùÓ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐✢❒ ❬ ❪ þ ❈✷❫þ ❬ ý Ô❏Õ ❪ þ ❊ ❫ ❅↔➐✹➑ ý ✾❯❃❴➙ ❪ þ ❈❴❫ þ ❅↔➐↔❆ ý ✾ ➂Ö❸ ù ❪ þ ❈✷❫þ ✾➯❁ ✬❴➫ ⑤ ✾ × ❬ ❸❱❬ ý ù❴rt✉✠Ø ❬ ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅❱❆❀❇ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✵⑥ Ú ❮ rt✉✠Ø ❬ ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅↔➑❱❇➣ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✵⑥ Ú ❮ rt✉✠Ø ❬ ❖ ❐ ② ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅↔➑❱❇➣ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✭⑥ Ú ù ❬ ❸❋❬ ➄ ù ❬ ❪ þ ❬ ➄ ✛ Ô❏Û➙❏➛✤Ü●✷Ý✤Þ✭✯ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ ⑧➼✭➽❏ß✷➾❴➘✵➴❄➷✭●❴➾❴✥✤➚❴➪✵✯✄◆✤à➳➀➵❄á✜ ❫❱â ã ä ❅↔➐✹➑ ý ➓ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ ⑨●✷å❏æ➩❏ç✴ ❙ ❬ ❪ þ ❬ ➄ Û ➙ ð❏è❏é●❴➚✤ê❴➪✵✴ ❫ â ã ä ➒✷ë❏ì❏í✭✯ ❲ ❳✠❨ ❩✌❨ îðï↔ñò↕ó✚ôõ❯ö❏÷❵❴ø❴ù ú➾✤û❏ü✵●í✤ý✤þ ➵ ✴ ❢❀❤✐❥❦ ❧✌♣❏q●❴ÿ♠✤➙í ➑ ý ✁➦ ➴✷➷✵●❏➾❏✥✄✂✄☎✵✯✝✆✤ü✤➁✭➼✵➽ ❢❀❤✐❥❦ ❧✚♣❏q ●✷íýÿ ♠✞❏⑧✯ ✟❴➮ ❳✠❨ î✡✠ ÿ ☛ ö ☎ ö ✎ ✁✌☞✎✍✑✏✓✒✕✔✎✖✓✗✕✘✄✙✓✚ ❸ ✒✑✛✕✜✡✢✄✣✄✤✦✥✭✴ ✧ ù ú ý û ✝✞✌☛ ☎④☎ þ ✝✞ ✟ ☛ ✑ ✏✓ö ★ ù ú ý û ✝✞✌☛ ✎ þ ✎ ✝✞ ✟ ☛ ✑ ✏♦ö ✩ ❬ ó♦ô ❬ ù ✪✫✬✮✭✯ ÿ ✧ ➇ ★ ✁ ✰✲✱✄✳ ✫✬✮✭✯ ÿ ➇ ✁✴☞✎✙✓✚✑✒✑✢✎✵✎✶✎✷✡✸❏✯