要使P(n-5m|≤)→1,必须对一切y有 但是,它不成立这说明了由n推不出5n 如果将{n}局限为独立随机变量序列,且有5nC,C为常数,则5n→C 38依概率收敛但不几乎处处收敛 随机变量序列{n,n≥1},若几乎处处收敛于ξ,则一定依概率收敛.反之不然 例取9=(0,1,F为(0,1中博雷尔点集全体组成的σ代数全体,P为勒贝格测 度.令 1,∈(k2,] 0 定义 6n(0)=m(),m=计+k(1 于是{5n,n≥1}是一个随机变量序列 (1)5n→5:对于任意e>0,由于 P()2e}≤ P{En(u)≥e}→0,(n→∞) 即5n→5 (2)En:由于对任意一个固定的∈g,任一正整数k,恰有一个i 使mk:(u)=1.而对其余的m(u)=0.由此知,{n()}对每一个u∈9都不收 敛 39依概率收敛但不r阶矩收敛1 令{Xn2,n≥1}是一列随机变量序列,满足 P(Xn=e")=l/n, P(Xn=0)=1-1/n, n>‡¦P(|ξn − ξm| ≤ ε) → 1§7Léƒyk F(y + ε) − F(y − ε) → 1. ´§§Ø¤á. ù`² dξn L→ ξíØÑξn P→ ξ. XJò{ξn}ہÕá‘ÅCþS§…kξn L→ C§C~ê§Kξn P→ C. 38 VÇÂñØA??Âñ ‘ÅCþS{ξn, n ≥ 1}§eA??Âñuξ§K½VÇÂñ. ‡ƒØ,. ~ Ω = (0, 1]§F(0, 1]¥ÆX:8N|¤σêN§PV‚ÿ Ý. - ηki (ω) = ( 1, ω ∈ ( i−1 k , i k ], 0, ω /∈ ( i−1 k , i k ]. (i = 1, 2, ..., k, k = 1, 2, ...) ½Â ξn(ω) = ηki (ω), n = i + k(k − 1) 2 . u´{ξn, n ≥ 1}´‡‘ÅCþS. (1) ξn P→ ξµéu?¿ε > 0§du P{|ηki (ω)| ≥ ε} ≤ 1 k ,  P{|ξn(ω)| ≥ ε} → 0, (n → ∞). =ξn P→ ξ. (2) ξn a.s. 9 ξµdué?¿‡½ω ∈ Ω§?êk§Tk‡i§ ¦ηki (ω) = 1. éÙ{ikηki (ω) = 0. dd§{ξn(ω)}éz‡ω ∈ ΩÑØ ñ. 39 VÇÂñØrÝÂñ-1 -{Xn, n ≥ 1}´‘ÅCþS§÷v P(Xn = e n ) = 1/n, P(Xn = 0) = 1 − 1/n, n ≥ 1. 19