1.X1,…,Xxn每个都服从分布N(0,1) 2.k<m,向量(xa1,…X4)服从正态分布 3令U=X1±X2,V为X3…,Xn的任一线性组合,则U+V服从正态分布 4.设a1,…,an为非零的实数,且|a1≠|a2.则∑是=1akXk非正态 36依分布收敛但不依概率收敛1 随机变量序列{sn},若依概率收敛于ξ,则一定依分布收敛.反之不然 例设={u1,2},P(u1)=P(u2)=l.定义随机变量∈:5(u1) 则的分布为 1,1 令5n(ω)=-5(ω).显然,5n(u)的分布也是(*)因此 但是,对任意的0<ε<2 P{En(u)-5(u)>e}=P(2)=1 即En(u):(u) 37依分布收敛但不依概率收敛2 例设{n,n≥1}为独立同分布非退化随机变量序列,且Fn(x)≡F(x),则 W 由于独立性,(5n,Em)的联合密度函数 FEn.5m(a, y)= FEn (a) FEm(y)=F(a)F(y) 因而 P(En-5m|≤e) dFen.sm(a, y) x-引≤e [F(+e)-F(y-edF(a1. X1, ..., Xnz‡ÑÑl©ÙN(0, 1). 2. ∀k < n§•þ(Xi1 , ..., Xik )Ñl©Ù. 3. -U = X1 ± X2§V X3, ..., Xn?‚5|ܧKU + V Ñl©Ù. 4. a1, ..., anš"¢ê§…|a1| 6= |a2|. K Pn k=1 akXkš. 5. E ￾ Qn k=1 Xk
= 0. 36 ©ÙÂñ؝VÇÂñ-1 ‘ÅCþS{ξn}§eVÇÂñuξ§K½©ÙÂñ. ‡ƒØ,. ~ Ω = {ω1, ω2}§P(ω1) = P(ω2) = 1 2 . ½Â‘ÅCþξ : ξ(ω1) = −1§ξ(ω2) = 1. Kξ©Ùµ −1, 1 1 2 , 1 2 ! (∗). -ξn(ω) = −ξ(ω). w,§ξn(ω)©Ù´(*). Ïd§ ξn(ω) L→ ξ(ω). ´§é?¿0 < ε < 2, P{|ξn(ω) − ξ(ω)| > ε} = P(Ω) = 1, =ξn(ω) P9 ξ(ω). 37 ©ÙÂñ؝VÇÂñ-2 ~ {ξn, n ≥ 1}Õáөٚòz‘ÅCþS§…Fn(x) ≡ F(x)§K Fn(x) W→ F(x). duÕá5§(ξn, ξm)éÜݼê Fξn,ξm(x, y) = Fξn (x)Fξm(y) = F(x)F(y). Ï P(|ξn − ξm| ≤ ε) = Z Z |x−y|≤ε dFξn,ξm(x, y) = Z ∞ −∞ [F(y + ε) − F(y − ε)]dF(x). 18