34正态随机变量的联合分布非正态2 例二维分布函数F(x,y)的密度函数如下 f(=,y)=2exp(-2(+y)-(1+ sin a sing) -oo<, <oo 它不是正态分布,但其边际密度函数分别为 fx(z)=/f(r,y)dy ),-∞<x<∞ 一 1 fy(y)= f(a, y)d. √Gep(-y) 0<y<0 即x~N(0,1),Y~N(0,1) 35若(X1,…,Xn)服从正态分布,则X1,…,Xn的任一线性组合 都服从正态分布,但当只是(X1,…Yxn)的部分线性组合服 从正态分布时,(X1,,Xn)不一定服从正态分布 定义密度函数如下: f(1,…,xn)=(2n)-2(1+e(a-a)Ⅱ41(x)∑明 其中(x,,xn)∈R",0=exp(-是x2),(-1)是区间(-1,1)上的示性函数选择合适的 常数使得 2-Ⅱ-1()∑引≤1 可以验证,f是一个n维密度函数,且它显然不是一个正态密度函数 接下来,我们求(X1,…,Xn)的边际分布我们先求出f的特征函数,如下 o(1,…t)=I(x)+-[((t2)-(1)()正t 其中 v(t (2i/t2)(sint-tcos t), t+ v(t) (2i/t)+(62)u(t),t≠0 t=0. 由上式我们可以得到以下结论34 ‘ÅCþéܩٚ-2 ~ ‘©Ù¼êF(x, y)ݼêXe f(x, y) = 1 2π exp ￾ − 1 2 (x 2 + y 2 )
· (1 + sin x sin y), −∞ < x, y < ∞. §Ø´©Ù§Ù>Sݼê©O fX(x) = Z ∞ −∞ f(x, y)dy = 1 √ 2π exp(− x 2 2 ), −∞ < x < ∞, fY (y) = Z ∞ −∞ f(x, y)dx = 1 √ 2π exp(− y 2 2 ), −∞ < y < ∞. =X ∼ N(0, 1)§Y ∼ N(0, 1). 35 e(X1, ..., Xn)Ñl©Ù§KX1, ..., Xn?‚5|Ü ÑÑl©Ù§´(X1, ..., Xn)Ü©‚5|ÜÑ l©Ùž§(X1, ..., Xn)ؽÑl©Ù ½ÂݼêXeµ fε(x1, ..., xn) = (2π) −n/2 Yn k=1 ϕ0(xk) 1 + ε(x 2 1 − x 2 2 ) Yn k=1 xkI(−1,1)(xk) exp(1 2 Xn j=1 x 2 j ) , Ù¥(x1, .., xn) ∈ R n§ϕ0 = exp(− 1 2 x 2 ), I(−1,1)´«m(−1, 1)þ«5¼ê. ÀJÜ· ~êε¦    ε(x 2 1 − x 2 2 ) Yn k=1 xkI(−1,1)(xk) exp(1 2 Xn j=1 x 2 j )    ≤ 1. Œ±y§fε´‡n‘ݼ꧅§w,Ø´‡ݼê. e5§·‚¦(X1, ..., Xn)>S©Ù. ·‚k¦ÑfεA¼êφ§Xe φ(t1, ..., tn) = Yn k=1 ϕ0(tk) + ε h￾ ψ(t1)ψ˜(t2) − ψ˜(t1)ψ(t2)
Yn k=3 ψ(tk) i , Ù¥ ψ(t) = ( (2i/t2 )(sin t − t cost), t 6= 0, 0, t = 0, ψ˜(t) = ( (2i/t) + (6/t2 )ψ(t), t 6= 0, 0, t = 0. dþª·‚Œ±±e(ص 17