2)粒子在中心场中的运动 中心势场:V(F)=V( 定态方程 方2 v+()()=Ev(F) 在球坐标系 2m r dr2 2mr2 ()y(r,.q)=E(r,.q) oy-b(r(r)-E)v(0.9)=v(r.9) L为轨道角动量 分离变量:v(r,0,)=R(r)Y(O,q), EY()=CY()角向方程 则有 d h(V()-E)R=R径向方程 C/h2为分离变量常数。 由角动量本征方程,有 Y(,q)=yn(0,q),C=(1+1)h2,l=0,1,.。 由于任意中心场中角向波函数都相同,为球谐函数,故中心场问题退化为径向方程: d( dR 2mr2 dr dr 2(V()-E)R=1(1+1)R, 决定径向波函数R和能级E 归一化条件:「rd42R)m(.p)=1 由于有∫m(.o)=1, 故R(r)=1 R 径向方程变为-24+(+21(+)1=-En, 2m dr 2m r 这类似于势为Vn的一维定态 Schrodinger方程。2）粒子在中心场中的运动 中心势场： V r( ) =V r( ) ， G 定态方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V r r E r m ψ ψ ⎛ ⎞ ⎜− ∇ + ⎟ = ⎝ ⎠ = G G G 在球坐标系： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ 1 , , , , 2 2 L r V r r E r m r r mr ψ θ ϕ ψ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ − + + ⎟ = ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ G = ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ 2 , , , , mr L r V r E r r r r ψ θ ϕ ψ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ ∂ ∂ G = = ˆ L G 为轨道角动量。 分离变量： ψ ( ) r R , , θ ϕ = (r)Y (θ,ϕ )， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ , , 2 L Y CY d dR mr C r V r E R R dr dr θ ϕ = θ ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ G = = 角向方程 径向方程 2 C / = 为分离变量常数。 由角动量本征方程，有 Y ( ) θ, , ϕ = Ylm (θ ϕ ) ， C l = + ( ) l 1 =2 , l = 0,1,...∞ 。 由于任意中心场中角向波函数都相同，为球谐函数，故中心场问题退化为径向方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 d dR mr r V r E R l l dr dr ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠ = + R ， 决定径向波函数 R 和能级 E。 归一化条件： ( ) 2 2 2 0 ( , ) 1 lm r dr d R r Y θ ϕ ∞ Ω = ∫ ∫ 由于有 2 ( , ) 1 lm d Y Ω = θ ϕ ∫ ， 故 ( ) 2 2 0 R r r dr 1 ∞ = ∫ 。 令 u = rR， 径向方程变为 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 Veff d u l l V u m dr m r ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ = = Eu ， 这类似于势为 的一维定态 Schrödinger 方程。 Veff 1