athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU ∑u4(2)绝对且一致收救。( Weierstrass的M判别法) 连续性,如果4()(k=1,2…)在D内连续,级数∑4()在D内一致收敛,则其和 函数S()=∑u4(2)也在D内连续。 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限, 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,im∑u4()=∑hu4(=) ·逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果4()(k=1,2,…)在C上连 线,则对FC上一致收敛级数∑()可以逐项积分「∑(=∑[ ·逐项求导数(Woms定理)设u1()(k=12…)在D中单值解析∑u2()在D 中一致收敛,则此级数之和f(-)=∑u1()是D内的解析函数,f()可逐项求导 求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。f()=∑() [上面这些性质的证明见《数学物理方法》,北大吴崇试,高等教育出版社。 函数f(x)在x处连续即limf(x)=f(x0)可表述为:对任意给定的E>0,总存在 δ>0,当2-x<6时,使得|f(x2)-f(x)<E成立 一致连续:不依赖于x.例如:f(x)=,x∈(0.1),|Ax=x2-x|=0,|l 对任意小的正数δ,A|= <E,(x1,x)>d,所以连续,但并非一致连续 x2x, x,I2 因为当x=△,x2=△+时,A 若△>,则连续,若△δ,则A △(△+o) 康托尔( Couter)定理:在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。 6Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6  ( )  k=1 k u z 绝对且一致收敛。（Weierstrass 的 M 判别法） ⚫ 连续性：如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 内连续，级数  ( )  k=1 k u z 在 D 内一致收敛，则其和 函数  ( )  = = 1 ( ) k k S z u z 也在 D 内连续。 ⚫ 这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限， 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，    = →  = → = 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 k k z z k k z z u z u z . ⚫ 逐项求积分：设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 C 上连 续， 则对于 C 上一致收敛级数  ( )  k=1 k u z 可以逐项积分， 1 1 ( )d ( )d . k k C C k k u z z u z z   = =  =   ⚫ 逐项求导数（Weierstrass 定理）：设 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 中单值解析，  ( )  k=1 k u z 在 D 中一致收敛，则此级数之和  ( )  = = 1 ( ) k k f z u z 是 D 内的解析函数， f (z) 可逐项求导， 求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ). m m k k f z u z  = =  [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。] 函数 f x( ) 在 0 x 处连续即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 可表述为：对任意给定的   0 ，总存在   0 ，当 2 1 x x −   时，使得 2 1 f x f x ( ) ( ) −   成立。 一致连续： 不依赖于 x . 例如： 1 f x( ) x = ，x(0,1) ， 2 1  = − = x x x  ，  f  . 对任意小的正数  ， 2 1 1 2 1 1 x f x x x x    = − =  ， 1 2 ( , ) x x   ，所以连续，但并非一致连续。 因为当 1 2 x x =  =  + ,  时， ( ) f    =   + .若  ，则连续; 若   ，则 1   f 1  . 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续