A=(-I)+2+++2+M'=M, M的每一项都可写作a4a.aa,其中aa.a:是1,2，k,的一个排列，所以这一项前面 所带的符号为(-Ia,M中每一项都可写作aA42Aa.aa,其中RA2.月是 k+1k+2,.n的一个排列，这一项在M中前面所带的符号是(-1)-A-这二项的乘积 是aaaa,.aak.anBn,前面的符号是(-agHm-a-tA-因为每个B比每个a 都大，所以上述符号等于(-)®4》因此这个乘积是行列式D中的一项而且符号相同】 下面来证明一般情形设子式M位于D的第，凸，.行：第，2，.，。列，这里 1<i.<;j<乃<.<a 变动D中行列的次序使M位于D的左上角为此，先把第行依次与第-4-2.2,1行对换这样 经过了1-1次对换而将第行换到第一行.再将2行依次与第52-1,52-2，.2行对换而换到第二行， 一共经过了1，-2次对换如此继续进行.一共经过了 (G-1)+(6-2)+.+0-k)=(++.+)-(1+2+.+) 次行对换而把第，.行依次换到第1,2，.，k行. 利用类似的列变换，可以将M的列换到第1,2，.，k列.一共作了 j-1)+(2-2)+.+-k)=(+方+.+)-(1+2++k) 次列变换 我们用D表示这样变换后所得的新行列式那么 D=(-)+H2+Hh+h++H2+)D=(-l6+线*i*方+D 由此看出，D和D的展开式中出现的项是一样的，只是每一项都差符号（←14+h 现在M位于D,的左上角，所以MM”中每一项都是D中的一项而且符号一致但是 MA=(-y+核*M*+MM 所以MA中每一项都与D中一项相等而且符号一致. 定理6（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行.由这k行元素所组成的(1 2 ) (1 2 ) ( 1) , k k A M M + + + + + + + = − =   M 的每一项都可写作 1 2 1 2 , k k a a a    其中    1 2 k 是 1, 2, , k ,的一个排列,所以这一项前面 所带的符号为 1 2 ( ) ( 1) k     − , M  中每一项都可写作 1 2 1, 2, , k k n k k n a a a + +    + + 其中    k k n + + 1 2 是 k k n + + 1, 2, 的一个排列,这一项在 M  中前面所带的符号是 1 2 ( ) ( 1) K k n     k k k + + − − − − .这二项的乘积 是 1 2 1 1 2 1, , k k k k n n a a a a a      + + 前面的符号是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) k K k n         k k k + − − − + + − 因为每个  比每个  都大,所以上述符号等于 1 2 1 ( ) ( 1) k K n       + − .因此这个乘积是行列式 D 中的一项而且符号相同. 下面来证明一般情形.设子式 M 位于 D 的第 1 2 , , k i i i 行;第 1 2 , , , k j j j 列,这里 1 2 ; k i i i   1 2 . k j j j    变动 D 中行列的次序使 M 位于 D 的左上角.为此,先把第 1 i 行依次与第 1 1 i i − − 1, 2, 2,1 行对换.这样 经过了 1 i −1 次对换而将第 1 i 行换到第一行.再将 2 i 行依次与第 2 2 i i − − 1, 2, 2 行对换而换到第二行, 一共经过了 2 i − 2 次对换.如此继续进行.一共经过了 1 2 ( 1) ( 2) ( ) k i i i k − + − + + − 1 2 ( ) (1 2 ) k = + + + − + + + i i i k 次行对换而把第 1 2 , , k i i i 行依次换到第 1, 2, , k 行. 利用类似的列变换,可以将 M 的列换到第 1, 2, , k 列.一共作了 1 2 ( 1) ( 2) ( ) k j j j k − + − + + − 1 2 ( ) (1 2 ) k = + + + − + + + j j j k 次列变换. 我们用 D1 表示这样变换后所得的新行列式.那么 1 2 1 2 ( ) (1 2 ) ( ) (1 2 ) 1 ( 1) k k i i i k j j j k D D + + + − + + + + + + + − + + + = − 1 2 1 2 ( 1) k k i i i j j j D + + + + + + + = − . 由此看出, D1 和 D 的展开式中出现的项是一样的,只是每一项都差符号 1 1 ( 1) k k i i j j + + + + + − . 现在 M 位于 D1 的左上角,所以 M M  中每一项都是 D1 中的一项而且符号一致.但是 1 1 ( 1) . k k i i j j M A M M + + + + +  = −   所以 MA 中每一项都与 D 中一项相等而且符号一致. 定理 6(拉普拉斯定理)设在行列式 D 中任意取定了 k k n (1 1)   − 个行.由这k 行元素所组成的