余下的元素按照原来的次序组成的n一k级行列式M称为k级子式M的余子式 从定义立刻看出，M也是M的余子式所以M和M可以称为D的一对互余的子式 例1在四级行列式 1214 D= 0-121 0021 0013 中健定茶一三东器=因网滑路-个接式M卡以尚会代为-子 例2在五级行列式 D=da an das au das as as2 assassass 中 an ans ais M-as da ds.M=8a到 as as 是一对互余的子式 定义10设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，k;,2,.j则M的余 子式前面加上符号(-1)%+4+》后称做M的代数余子式 例如，上述例1中M的代数余子式是(-1)2)M'=M,上面例2中M的代数余子式为.因为 M与M位于行列式D中不同的行和不同的列，所以我们有下述 引理行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开 式中的一项，而且符号也一致 证明我们首先讨论M位于行列式D的左上方的情形 a1a2. akak4lan .M. . D=fu da aak4l.au 4.4， M. 此时M的代数余子式A为 余下的元素按照原来的次序组成的 n k − 级行列式 M  称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出, M 也是 M  的余子式.所以 M 和 M  可以称为 D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 1 2 1 4 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 1 3 D − = 中选定第一、三行,第二、四列得到一个二级子式 2 4 , 0 1 M = M 的余子式为 0 2 . 0 1 M = 例2 在五级行列式 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 51 52 53 54 55 a a a a a a a a a a D a a a a a = 中, 12 13 15 22 23 25 42 43 45 a a a M a a a a a a = , 31 34 51 54 a a M a a  = 是一对互余的子式. 定义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 1 2 1 2 , , ; , , . k k i i i j j j .则 M 的余 子式 M  前面加上符号 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) k k i i i j j j + + + + + + + − 后称做 M 的代数余子式. 例如,上述例 1 中 M 的代数余子式是 (1 3) (2 4) ( 1) , M M + + + − =   上面例 2 中 M 的代数余子式为.因为 M 与 M  位于行列式 D 中不同的行和不同的列,所以我们有下述 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开 式中的一项,而且符号也一致. 证明 我们首先讨论 M 位于行列式 D 的左上方的情形: 11 12 1 1, 1 1 1 2 , 1 1,1 1,2 1, 1, 1 1, 1 2 , 1 k k n k k kk k k kn k k k k k k k n n n nk n k nn a a a a a M a a a a a D a a a a a M a a a a a + + + + + + + + + =  此时 M 的代数余子式 A 为