102 得A 012 22 8.设3阶对称矩阵A的特征值6,3,3,与特征值6对应的特征向量 为 P=(1,1,1),求A xx, x 解设A X x +x,+x3=6 由 知①{x2+ x,+x。+x=6 3是A的二重特征值根据实对称矩阵的性质定理知A-3E的秩为1, 故利用①可推出x2x-3x 秩为1. 则存在实的a,b使得② (1,1)=a(x2x4-3,x5)成立 (1,1,1)=b(x3,x5,x6-3) 由①②解得x2=x3=1,x1=x1=x6=4,x5=1. 411 得A=14 9.试求一个正交的相似变换矩阵将下列对称矩阵化为对角矩阵: 20 22-2 (2)25-4 2-45 2-元-20 解(1)A-E=-21--2=(1-4)(2-4)+2) 故得特征值为1=-2,2=1,3=4.7 得           − = 2 2 0 0 1 2 1 0 2 3 1 A 8．设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 6，3，3，与特征值 6 对应的特征向量 为 (1,1,1) 1 T P = ,求 A. 解 设           = 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x A 由           =           1 1 1 6 1 1 1 A ，知①      + + = + + = + + = 6 6 6 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x 3 是 A 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知 A − 3E 的秩为 1， 故利用①可推出           − −           − − − 3 3 1 1 1 3 3 3 3 5 6 2 4 5 3 5 6 2 4 5 1 2 3 ~ x x x x x x x x x x x x x x x 秩为 1. 则存在实的 a,b 使得②    = − = − (1,1,1) ( , , 3) (1,1,1) ( , 3, ) 3 5 6 2 4 5 b x x x a x x x 成立． 由①②解得 x2 = x3 = 1, x1 = x4 = x6 = 4, x5 = 1． 得           = 1 1 4 1 4 1 4 1 1 A ． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1)           − − − − 0 2 0 2 1 2 2 2 0 ; (2)           − − − − 2 4 5 2 5 4 2 2 2 ． 解 (1)     − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (1 − )( − 4)( + 2) 故得特征值为 1 = −2,2 = 1,3 = 4．