6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor或 Laurent级数,这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分,还可用于求解二阶线性常微分方程 许多物理规律都用微分方程描述,其中最常见的是二阶线性常微分方程,它的一般形式是 +p(-)-+q(-)w=f(-) (1.1) 如果∫()=0,则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言,指的是自单 变量,并非指常系数 在不同的物理问题中,常遇到的二阶线性常微分方程有:(这里的x可看为复变量) (1.2) Bessel方程 ry+xy+(r-m)y=0 Laguerre方程 xy+(1-x)y+ay=0 ermita方程 Chebyshev方程:(1-x2)y"-xy+n2y=0 Hypergeometric E: x(x-1)y+[(1+a+b)x-cly +aby=0 Confluent hypergeometri方程 xy+(c-x)y-ay=0 这些方程都是二阶线性常微分方程,因此数学上,每一个方程都有两个线性无关的解,本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到,这些方程的解各对应于一类特殊函数,而这些特殊函数在一般情况下,大都无法表示为简单的初等函数。因 此,无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解,因此就把解析解在此邻域展开成级数,于是,这些特殊函数解常用级数 我们将以 Legendre方程和 Bessel方程方程为例,学习二阶线性常微分方程级数解法, 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系,从而确定级数。这种解法也称 Frobenius解法。 61二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 +p() 其中p()和q()称为方程的系数。显然,方程的性质由其系数确定。特别是,方程解的形式与解的解析性也由系数的解析 确定 通常,人们并不需要在整个复平面内求解方程,更感兴趣的是求解某点0邻域的解(邻域可大可小),6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor 或 Laurent 级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分，还可用于求解二阶线性常微分方程。 许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = f (z) (1.1) 如果 f (z) = 0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单 变量，并非指常系数。 在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的 x 可看为复变量） Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 (1.2) Bessel 方程： x2 y″ + x y′ + x2 - n2 y = 0 (1.3) Laguerre 方程： x y″ + (1 - x) y′ + a y = 0 (1.4) Hermite 方程： y″ - 2 x y′ + 2 α y = 0 (1.5) Chebyshev 方程： 1 - x2 y″ - x y′ + n2 y = 0 (1.6) Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 (1.7) Confluent hypergeometric 方程： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 (1.8) 这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因 此，无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表 示。 我们将以Legendre 方程和 Bessel 方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法， 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称 Frobenius 解法。 6.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 (1.9) 其中 p(z) 和 q(z) 称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性 确定。 通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点 z0 邻域的解（邻域可大可小）