2z06a.nb 因此,若要在某点二的邻域求解微分方程,系数函数p()和q()在=0的性质就显得特别重要,为此,做以下定义 常点:如果在0点,p()和q()都解析,则称为方程的常点 ■奇点:如果在0点,p()或q(=)不解析,则0称为方程的奇点 正则奇点:在=0点,p()或q()不解析,但(2-=0)p(-)和(-=0)2q()都解析。 ·非正则奇点:在0点,连(二-=0)p()或(-=0)2q()也不解析 无穷远点的判断:方程做自变量变换z=1/4,则方程(19)化为 0 c1ear["G1oba1★"] v0=w[1/3]/.s→z w1=Dw[1/s],s/.s→z w2=D[w[1/3],【s,2)]/.s→z; eq=(w2+p[z]wl +q[z]wo)/z+1/si [s] Expand[eq/c](★将w[]的系数化为*) WISI [S] [s] (1.10)可写成 +P—+Qw=0,P(= 显然,当且仅当心和具 有以下形式时,P与Q(Q才解析 24+a22+a323+ =b44+bs5+ 因为这时对应于:P=-a2-a34+…,Q(=b4+bs+…在《=0均解析 从而∠=0是(1.10)的常点,对应地,z=∞是(1.9)的常点。 若心和引不具有(1形式,c=0G=)就是微分方程的奇点 若和引一具有以下形式,则(=0是(1.10)的正则奇点,对应地,=∞是(19)的正则奇点 (1.12) 2 为这时对应于:P)= a2-a35+…,Q=+-+…在=0,P(和2Qo均解析。 (1.7)式的超几何方程:x(x-1)y"+(1+a+b)x-cly+aby=0 系数为:p(x)= 故:二=0,1,∞是方程的三个正则奇点。 例:(1.8)式的合流超几何方程:xy"+(c-x)y-ay=0 系数为:p(x)= C-x glx 故:z=0是方程的正则奇点,z=∞则是非正则奇点。因此，若要在某点 z0 的邻域求解微分方程，系数函数 p(z) 和 q(z) 在 z0 的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。 ◼ 常点：如果在 z0 点， p(z) 和 q(z) 都解析，则 z0 称为方程的常点 ◼ 奇点：如果在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，则 z0 称为方程的奇点  正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。  非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。 ◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 /ζ，则方程 (1.9) 化为 2w ζ2 + 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ w ζ + 1 ζ4 q 1 ζ w = 0 (1.10) Clear["Global`*"] w0 = w[1 / ζ] /. ζ  z; w1 = D[w[1 / ζ], ζ] /. ζ  z; w2 = D[w[1 / ζ], {ζ, 2}] /. ζ  z; eq = (w2 + p[z] w1 + q[z] w0) /. z  1 / ζ; c = Coefficient[eq, w ''[ζ]]; Expand[eq / c] (* 将 w′′[ζ] 的系数化为1 *) q 1 ζ w[ζ] ζ4 + 2 w′ [ζ] ζ - p 1 ζ w′ [ζ] ζ2 + w′′[ζ] (1.10) 可写成 2w ζ2 + P(ζ) w ζ + Q(ζ) w = 0, P(ζ) = 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ , Q(ζ) = 1 ζ4 q 1 ζ 显然，当且仅当 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式时 ， P(ζ) 与 Q(ζ) 才解析， p 1 ζ = 2 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b4 ζ4 + b5 ζ5 + ⋯, (1.11) 因为这时对应于 ：P(ζ) = -a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b4 + b5 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 均解析， 从而 ζ = 0 是 (1.10) 的常点，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的常点。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。 p 1 ζ = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯, (1.12) 因为这时对应于 ：P(ζ) = 2 - a1 ζ - a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b2 ζ2 + b3 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析。 ☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 系数为：p(x) = (1 + a + b) x - c x(x - 1) , q(x) = a b x(x - 1) , 故： z = 0, 1, ∞ 是方程的三个正则奇点 。 例： (1.8) 式的合流超几何方程 ： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 系数为：p(x) = c - x x , q(x) = - a x , 故： z = 0 是方程的正则奇点 ，z = ∞ 则是非正则奇点 。 2 z06a.nb