z06anb 3 以下 Mathematica代码的运算结果与(1.11)和(1.12)式比较表明: z=∞是超几何方程的正则奇点(当ab≠0时),是合流超几何方程的非正则奇点 C1ear["G1。ba1"] ·c /.x→1/y; x(x-1 .x→1/y 1 Series [pl, y,0, 4]] Series[ql, [ y,0, 41 Series[q2, [ y,0,41 (1+a+b)y+(1+a+b-c)y2+(1+a+b-c)y3+(1+a+b-c)y4+oy]5 aby+aby+aby+o[y]5 1+cy+o[y]5 ay+oli 62二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理: d -w 对二阶线性常微分方程:-+p(-) 1.如果=0是微分方程的常点,则在0的邻域-=0<R,即:p(-)和q(=)的解析区域, 该微分方程必存在两个如下形式的线性独立解 ()=)ckc-=0),其中 2.如果〓0是微分方程的正则奇点,则在0的邻域-〓0|<R )p()和(-x0)2q)的解析区域 该微分方程至少存在一个如下形式的解 ()=Sc2C=-=0,其中:co≠0,p是常数,称为指标 对非正则奇点,求解困难得多,幸亏,物理上常见的微分方程(1.2)-(1.8)的非正则奇点都在二=∞。 Q正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点,可将级数解代入原微分方程,求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre方程为例说明 而对微分方程的正则奇点,必须先求出指标p。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程,但必须先利用=的最低幂次的系数为零以下  Mathematica 代码的运算结果与 (1.11) 和 (1.12) 式比较表明 ： z = ∞ 是超几何方程的正则奇点 （当 a b ≠ 0 时），是合流超几何方程的非正则奇点 。 Clear["Global`*"] p1 = (1 + a + b) x - c x (x - 1) /. x  1 / y; q1 = a b x (x - 1) /. x  1 / y; p2 = c - x x /. x  1 / y; q2 = a x /. x  1 / y; Series[p1, {y, 0, 4}] Series[q1, {y, 0, 4}] Series[p2, {y, 0, 4}] Series[q2, {y, 0, 4}] (1 + a + b) y + (1 + a + b - c) y2 + (1 + a + b - c) y3 + (1 + a + b - c) y4 + O[y]5 a b y2 + a b y3 + a b y4 + O[y]5 -1 + c y + O[y]5 a y + O[y]5 6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理： 对二阶线性常微分方程 ：2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 1. 如果 z0 是微分方程的常点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：p(z) 和 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程必存在 两个如下形式的 线性独立解 ： w(z) =  k=0 ∞ ck(z - z0) k, 其中： c0 ≠ 0 2. 如果 z0 是微分方程的正则奇点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：(z - z0) p(z) 和 (z - z0) 2 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程至少存在 一个如下形式的解 ： w(z) =  k=0 ∞ ck(z - z0) k+ρ, 其中：c0 ≠ 0，ρ 是常数，称为指标 。 对非正则奇点 ，求解困难得多 ，幸亏，物理上常见的微分方程 (1.2) - (1.8) 的非正则奇点都在 z = ∞ 。  正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点，可将级数解代入原微分方程，求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre 方程为例说明。 而对微分方程的正则奇点，必须先求出指标 ρ 。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程，但必须先利用 z 的最低幂次的系数为零， z06a.nb 3