z06a.nb 得到一个关于指标的一元二次方程(称为指标方程),先求出指标p 最简单的情况,该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解 但如果不幸遇到:一元二次方程重根或两根之差为整数,情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见,讨论正则奇点出现于x=0,这里将x看成复变量。 若x=0为正则奇点,微分方程必可改写成如下形式 (思考一下为什么? x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,其中:g(x)和hx)在x=0点解析 (1.13) 据 Frobenius& Fuchs定理,该微分方程必定存在一个如下形式的解 =x,其中+0(若为常点,则对应于P=0) 对级数形式的yx)求导 y(x)=>(+p)akx+p-l y"(x)=(k+p)(k+p-1)ax+2 (1.14) 再将g(x)和h(x)作 Taylor展开 gx)=80+g1x+g2x2+ 代入微分方程(1.13)式,将得到以下形如>gx=0的幂级数形式 +p+p-1)+(k+p)(80+g1x+g2x2+…)+(ho+hx+hx2+…)ax+=0 因为是解析函数的展开,由唯一性定理,各幂次的系数ck=0 看最低幂次x项的系数(对应于上式的k=0项):p-1)+p8o+llao=0 由 Frobenius& Fuchs定理,形式解的系数ao≠0,故可得到一个关于指标的一元二次方程: p-1)+gp+h=0→p2+(g-1)p+h=0称为指标方程 (1.15 指标方程是一元二次方程,显然有两个根,以下分三种不同情况讨论 ■指标方程有两个不同的根P2≠p1,且两根之差不是整数:p2-p1≠n 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程的两个解可写成 n(x)=x(ao+ax+ax2+…)y2(x)=(6+dx+ax2+…) 因为P-p1是非整数,故y2(x)/y(x)不可能等于常数,y2x)和y(x)线性无关,其线性组合构成微分方程的通解 故指标方程两根之差为非整数时,微分方程的两个线性无关解写成 y()=yx,a*0,y2()=x∑,*0 (1.16) 其中系数ak与∝,可将yx)与y2(x)代入原微分方程来确定(见下一节) ■指标方程有重根:这时必有:p2=p1=(1-80)/2 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程必定有一个解可写成 y1(x)=y(a+a1x+a2x2+…),a≠0 (1.17) 其中系数ak可将y1(x)代入微分方程来确定。 由y(的形式,可导得:五=+9()(作为练习,不妨试推导) 这里以qk(x)表示仅含x的0次或正幂次的函数(x=0邻域的解析函数)。得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标 ρ。 最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关， 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。 但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见，讨论正则奇点出现于 x = 0，这里将x 看成复变量。 若 x = 0 为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式 （思考一下为什么？这样才能保证 x p(x) 和 x2 q(x) 解析）： x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析 (1.13) 据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解： y = xρ  k=0 ∞ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点 ，则对应于 ρ = 0） 对级数形式的 y(x) 求导, y′(x) =  k=0 ∞ (k + ρ) ak xk+ρ-1, y″(x) = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ak xk+ρ-2, (1.14) 再将 g(x) 和 h(x) 作 Taylor 展开， g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, h(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + … 代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如  k ck xk = 0 的幂级数形式 ，  k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x2 + … + h0 + h1 x + h2 x2 + … ak xk+ρ = 0 因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。 看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程： ρ(ρ - 1) + g0 ρ + h0 = 0 ⟹ ρ2 + (g0 - 1) ρ + h0 = 0 称为指标方程 (1.15) 指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。 ◼ 指标方程有两个不同的根 ρ2 ≠ ρ1，且两根之差不是整数：ρ2 - ρ1 ≠ n 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2 a0 ′ + a1 ′ x + a2 ′ x2 + …, 因为 ρ2 - ρ1 是非整数 ，故 y2(x)/ y1(x) 不可能等于常数 ，y2(x) 和 y1(x) 线性无关 ，其线性组合构成微分方程的通解 。 故指标方程 两根之差为非整数 时，微分方程的 两个线性无关解 写成： y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = xρ2  k=0 ∞ ak ′ xk, a0 ′ ≠ 0 (1.16) 其中系数 ak 与 ak ′，可将 y1(x) 与 y2(x) 代入原微分方程来确定 （见下一节 ）。 ◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, a0 ≠ 0 (1.17) 其中系数 ak 可将 y1(x) 代入微分方程来确定 。 由 y1(x) 的形式，可导得： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x), （作为练习 ，不妨试试推导 ） 这里以 qk(x) 表示仅含 x 的 0 次或正幂次的函数 （x = 0 邻域的解析函数 ）。 4 z06a.nb