z06anb5 由于当=+q(x),故x=0是当的单极点,且留数为p1 现在,如何找另一个线性无关解? 设另一个线性无关解为:y2(x)=ux)y(x),则 3=ly1 +uy, 3=y1+2uyi+l 代入微分方程:x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,整理得 是微分方程的解此项为 ryu+2x2yud+xgy1+ry+xgy+hy1 u=o 进而得到关于u的微分方程:"+-u+u=0(注:此时y(x)看成已知函数) 代入g(x)的 Taylor展开式:g(x)=8+81x+g2x2+…,可得: ”+(2连++9()=0.其中9(0=8+gx+…,仅含x的0次或正幂次 VIx 代入式:=+9(,并利用指标方程重根p2=p1=(1-)2,上式化为 +2p+2q1(x)+qx)n +93(x)w=0 (1.19) qx)仅含x的0次或正幂次 9()两边同积分m=-hnx+q4(x),==-e≈(x, 这里q4(x)和q5(x)都只含x的0次或正幂次子项, q5()是c(的展开,q3(x)=m+96(x,其中96(x)仅含x的正幂次项 =-+q6(x)→u=mnx++k1x+k2x2+…,.(其中:m≠0,而ko来自积分常数) n2(x)=u(x)y1(x)=no yi(x)Inx+(Ko+1x+*2x2+.y(x) 故指标方程重根时,微分方程的两个线性无关解写成:(思考:为何m不见了? y(x)=x >ak, ao+0, y2(x)=y(x)Inx+xou)berk (1.20) ■指标方程两根之差为整数:p2=p1-P,其中整数p>0 类似上一种情况,我们仍有(1.17及(1.18) 把y=凸+91(x)代入(11式,并利用指标方程(115的两根之和满足:p2+p1=1-,(18)式化为: K≠0 p+I xp 命l= kp+2x2+…注意最低幂次为xP y2(x)=mr)yI C y(x)=x5ax→n()241()hx+2x,其中利用了:p=p1-p 故指标方程两根之差为整数时,微分方程的两个解写成由于 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，故 x = 0 是 y1 ′ y1 的单极点 ，且留数为 ρ1。 现在，如何找另一个线性无关解 ？ 设另一个线性无关解为 ：y2(x) = u(x) y1(x) ， 则 y2 ′ = u′ y1 + u y1 ′ ， y2 ″ = u″ y1 + 2 u′ y1 ′ + u y1 ″ 代入微分方程 ：x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0，整理得： x2 y1 u″ + 2 x2 y1 ′ u′ + x g y1 u′ + x2 y1 ″ + x g y1 ′ + h y1 y1 是微分方程的解，此项为0 u = 0 进而得到关于 u 的微分方程 ： u″ + 2 y1 ′ y1 u′ + g x u′ = 0 （注：此时 y1(x) 看成已知函数 ） 代入 g(x) 的 Taylor 展开式：g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, 可得： u″ + 2 y1 ′ y1 + g0 x + q2(x) u′ = 0, 其中 q2(x) = g1 + g2 x + … ，仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.18) 代入式： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，并利用指标方程重根 ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2，上式化为 ： u″ + g0 + 2 ρ1 x + 2 q1(x) + q2(x) u′ = 0 ρ1=(1-g0) 2 u″ + 1 x + q3(x) u′ = 0 ， q3(x) 仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.19) u″ u′ = - 1 x - q3(x) 两边同积分 ln u′ = -ln x + q4(x) ，⟹ u′ = 1 x q4(x) = 1 x q5(x)， 这里 q4(x) 和 q5(x) 都只含 x 的 0 次或正幂次子项 ， q5(x) 是 q4(x) 的展开，q5(x) =η0 η0≠0 + q6(x), 其中 q6(x) 仅含 x 的正幂次项 u′ = 1 x [η0 + q6(x)] ⟹ u = η0 ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … （其中：η0 ≠ 0, 而 κ0 来自积分常数 ） y2(x) = u(x) y1(x) = η0 y1(x) ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … y1(x) 故指标方程重根时 ，微分方程的两个线性无关解写成 ：（思考：为何 η0 不见了？线性齐次方程 ，同除以 η0 ≠ 0） y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = y1(x) ln x + xρ1  k=0 ∞ bk xk (1.20) ◼ 指标方程两根之差为整数：ρ2 = ρ1 - p, 其中整数 p > 0 类似上一种情况 ，我们仍有 (1.17) 及 (1.18)。 把 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x) 代入 (1.18) 式， 并利用指标方程 (1.15) 的两根之和满足 ：ρ2 + ρ1 = 1 - g0， (1.18) 式化为： u″ + g0 + 2 ρ1 x + q3(x) u′ = 0 利用：g0+2 ρ1 = 1+p u″ u′ = - 1 + p x + q3(x) ⟹ ln u′ = -(1 + p) ln x + q4(x) ⟹ u′ = 1 xp+1 q4(x) = κ0 xp+1 + κ1 xp + ⋯ + κp x + κp+1 + κp+2 x + ⋯ , κ0 ≠ 0 ⟹ u = - κ0 p xp - κ1 (p - 1) xp-1 + ⋯ + κp ln x + κp+1 x + 1 2 κp+2 x2 + ⋯ 注意最低幂次为 x-p y2(x) = u(x) y1 (x) y1(x) = xρ1  k=0 ∞ ak xk ⟹ y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2  m=0 ∞ bk xk，其中利用了 ：ρ2 = ρ1 - p 故指标方程两根之差为整数时 ，微分方程的两个解写成 ： z06a.nb 5