《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 而(x-5)(x-x)=[x-0-0x-xo(x-x)=1-0)(x-x)+，故 R(6)=(x+0x-xX1-0rc-)叫，0≤0≤1， 称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当x。=0时，柯西型余项变为： R,()=/1-0'x,0≤0s1 积分余项的Taylor公式 引理：g)eq,x<x≤b,有 [g6a小x-r=eu-r血，mez 证： [gu血kx-rh ]dc- a4ae-ra-0g0d =m-0g0a 定理：设f八国eC“(。-h6+),则 -含。， 其中R国=0-r山，k-<a 证：n=l时 R=e-)-x- =∫fu0dt-f,x-x) ro-= 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 而 1 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( )] ( ) (1 ) ( ) + − − = − − − − = − − n n n n x  x x x x  x x x x  x x ，故 R (x) n 1 0 0 0 ( 1) ( ( ))(1 ) ( ) ! 1 + + = + − − − n n n f x x x x x n   ，0  1， 称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当 x0 = 0 时，柯西型余项变为： R (x) n ( 1) 1 ( )(1 ) ! 1 + + = − n n n f x x n   ，0  1。 积分余项的 Taylor 公式 引理： ( ) [ , ] g x C x0 b ， x :x0  x  b ，有 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) 0 0 0 g t x t dt m g t dt x t dt m x x m x x t x + − + − =        ， + m  Z 证： g t dt x t dt m x x t x ( ) ( ) 0 0 1 1 −       1 1 1 ( ) ( ) 1 1 0 0 + −     + − =   m x x t x g t dt d x t m   + + − + − + + − = = = x x m m t x x t g t dt m g t dt x t m t x t x 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1  + − + = x x m x t g t dt m 0 ( ) ( ) 1 1 1 。 定理： 设 ( ) ( , ) 0 0 1 f x C x h x h n  − + + ，则 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ， 其中  = − + x x n n n f t x t dt n R x 0 ( )( ) ! 1 ( ) ( 1) ， x − x0  h 。 证： n =1 时， ( ) 1! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 x x f x R x f x f x −  = − −  =  −  − x x f t dt f x x x 0 ( ) ( )( ) 0 0          =  −  =  x x t x x x f t f x dt f t dt dt 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( )